Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

102 Пространства Соболева дробного порядка
Для p ∈ [1, ∞] и ν < 1 −1/p определим пространство T (p, ν; B
1
, B
2
),
или просто T , как пространство, состоящее из всех следов f(0) функций
f ∈ W = W (p, ν; B
1
, B
2
), с нормой
kuk
T
= inf
f∈W
u
kfk
W
, (3.2)
где W
u
= {f ∈ W | f(0) = u}.
По определению пространство T является банаховым пространством,
являющимся подпространством пространства B
1
+ B
2
. В лемме 4.5 было
доказано, что при θ = ν +1/p < 1 для любой функции f ∈ W существует
след f(0), то есть определен линейный оператор Υ : f ∈ W → f(0) ∈ T ,
называемый оператором следа на W . При θ = ν +1/p < 1 оператор следа
будет ограничен, так как
kΥfk
T
= kf(0)k
T
= inf
e
f∈W
f(0)
k
e
fk
W
6 kfk
W
∀f ∈ W.
При выполнении более сильного неравенства θ 6 0 все следы эквивалент-
ны нулю пространства B
1
+ B
2
, так как в противном случае нарушалось
бы условие t
ν
f ∈ L
p
(0, ∞; B
1
). Таким образом, при θ 6 0 пространство T
тривиально и оператор следа есть нулевой оператор. Если же ν +1/p > 1,
то нетрудно показать, что в пространстве W имеются функции, в окрест-
ности нуля непрерывные (но не равномерно непрерывные) и неограни-
ченные, поэтому след f(0), в том смысле, о котором говорилось выше, не
определен для всех f ∈ W . В этом случае оператор следа можно опре-
делить на некотором плотном подпространстве W и трактовать его (при
разумном выборе области определения) как неограниченный замкнутый
плотно определенный оператор из W в B
1
+ B
2
. Однако в дальнейшем
нас будет интересовать наиболее содержательный случай: 0 < θ < 1.
Лемма 4.6. Пусть θ = ν + 1/p удовлетворяет условию 0 < θ < 1.
Тогда
(a) для каждого u ∈ T
kuk
T
= inf
f∈W
u
³
kt
ν
fk
1−θ
L
p
(0,∞;B
1
)
kt
ν
f
0
k
θ
L
p
(0,∞;B
2
)
´
;
(b) если u ∈ B
1
∩ B
2
, то u ∈ T и
kuk
T
6 Kkuk
1−θ
B
1
kuk
θ
B
2
∀u ∈ B
1
∩ B
2
.
102                                          Пространства Соболева дробного порядка


   Для p ∈ [1, ∞] и ν < 1 − 1/p определим пространство T (p, ν; B1 , B2 ),
или просто T , как пространство, состоящее из всех следов f (0) функций
f ∈ W = W (p, ν; B1 , B2 ), с нормой
                               kukT = inf kf kW ,                             (3.2)
                                        f ∈Wu

где Wu = {f ∈ W | f (0) = u}.
    По определению пространство T является банаховым пространством,
являющимся подпространством пространства B1 + B2 . В лемме 4.5 было
доказано, что при θ = ν +1/p < 1 для любой функции f ∈ W существует
след f (0), то есть определен линейный оператор Υ : f ∈ W → f (0) ∈ T ,
называемый оператором следа на W . При θ = ν +1/p < 1 оператор следа
будет ограничен, так как
          kΥf kT = kf (0)kT =      inf kfekW 6 kf kW             ∀ f ∈ W.
                                 fe∈Wf (0)

При выполнении более сильного неравенства θ 6 0 все следы эквивалент-
ны нулю пространства B1 + B2 , так как в противном случае нарушалось
бы условие tν f ∈ Lp (0, ∞; B1 ). Таким образом, при θ 6 0 пространство T
тривиально и оператор следа есть нулевой оператор. Если же ν +1/p > 1,
то нетрудно показать, что в пространстве W имеются функции, в окрест-
ности нуля непрерывные (но не равномерно непрерывные) и неограни-
ченные, поэтому след f (0), в том смысле, о котором говорилось выше, не
определен для всех f ∈ W . В этом случае оператор следа можно опре-
делить на некотором плотном подпространстве W и трактовать его (при
разумном выборе области определения) как неограниченный замкнутый
плотно определенный оператор из W в B1 + B2 . Однако в дальнейшем
нас будет интересовать наиболее содержательный случай: 0 < θ < 1.
   Лемма 4.6. Пусть θ = ν + 1/p удовлетворяет условию 0 < θ < 1.
Тогда
   (a) для каждого u ∈ T
                         ³                                   ´
                           ν  1−θ            ν 0 θ
             kukT = inf kt f kLp (0,∞;B1 ) kt f kLp (0,∞;B2 ) ;
                       f ∈Wu

      (b) если u ∈ B1 ∩ B2 , то u ∈ T и
                  kukT 6 Kkuk1−θ   θ
                             B1 kukB2              ∀u ∈ B1 ∩ B2 .

Страницы