Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

96 Пространства Соболева дробного порядка
(e) Λ является замкнутым оператором в B, то есть график
{(b, Λb) | b ∈ D(Λ)} является замкнутым подпространством простран-
ства B × B.
Доказательство. Пусть b ∈ B. Так как функция G(·)b непрерывна,
то
lim
τ→0+
kG(τ)b − bk
B
= 0.
Теперь (a) следует из тождества b = 1/t
t
R
0
b dτ.
Для фиксированного t > 0, вследствие (ii), имеем
lim
s→0+
G(s) − G(0)
s
t
Z
0
G(τ)b dτ = lim
s→0+
1
s
t
Z
0
(G(s + τ) − G(τ))b dτ =
= lim
s→0+
µ
1
s
s+t
Z
s
G(τ)b dτ −
1
s
t
Z
0
G(τ)b dτ
=
= lim
s→0+
µ
1
s
s+t
Z
t
G(τ)b dτ −
1
s
s
Z
0
G(τ)b dτ
=
= lim
s→0+
1
s
s
Z
0
G(τ)G(t)b dτ − b = G(t)b − b.
Это доказывает утверждение (b). Если b ∈ D(Λ), то при s → 0+
°
°
°
°
t
Z
0
G(τ)
µ
G(s)b − b
s
− Λb
dτ
°
°
°
°
6
6 t sup
0<τ<t
kG(τ)k
L(B)
°
°
°
°
G(s)b − b
s
− Λb
°
°
°
°
→ 0.
Таким образом,
Λ
t
Z
0
G(τ)b dτ = lim
s→0+
t
Z
0
G(τ)
G(s)b − b
s
dτ =
t
Z
0
G(τ)Λb dτ,
96                                                   Пространства Соболева дробного порядка


    (e) Λ является замкнутым оператором в B, то есть график
{(b, Λb) | b ∈ D(Λ)} является замкнутым подпространством простран-
ства B × B.
     Доказательство. Пусть b ∈ B. Так как функция G(·)b непрерывна,
то
                                  lim kG(τ )b − bkB = 0.
                                  τ →0+

                                                          Rt
Теперь (a) следует из тождества b = 1/t                           b dτ.
                                                          0
     Для фиксированного t > 0, вследствие (ii), имеем
                         Zt                                Zt
          G(s) − G(0)                             1
      lim                        G(τ )b dτ = lim                   (G(s + τ ) − G(τ ))b dτ =
     s→0+      s                             s→0+ s
                             0                                0

                          µ Zs+t              Zt          ¶
                           1                1
                    = lim       G(τ )b dτ −      G(τ )b dτ =
                      s→0+ s                s
                                      s                    0
                          µ Zs+t              Zs          ¶
                           1                1
                    = lim       G(τ )b dτ −      G(τ )b dτ =
                      s→0+ s                s
                                  t                        0
                                 Zs
                           1
                    = lim                 G(τ )G(t)b dτ − b = G(t)b − b.
                      s→0+ s
                                  0
Это доказывает утверждение (b). Если b ∈ D(Λ), то при s → 0+
                       °Z t    µ                ¶    °
                       °         G(s)b − b           °
                       ° G(τ )             − Λb   dτ °6
                       °            s                °
                         0
                                                   °                °
                                                   ° G(s)b − b      °
                   6 t sup kG(τ )kL(B)             °           − Λb ° → 0.
                      0<τ

Страницы