Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

94 Пространства Соболева дробного порядка
§ 2. Полугруппы операторов и абстрактная задача Коши
Пусть B — банахово пространство, и L(B) — пространство линейных
непрерывных операторов из B в B.
Определение 4.1. Функция G : [0, ∞) → L(B) называется непре-
рывной полугруппой на B, если
(i) G(0) = I (тождественный оператор);
(ii) G(s)G(t) = G(s + t) ∀s, t > 0;
(iii) для каждого b ∈ B функция G(·)b непрерывна из [0, ∞) в B.
Заметим, что (ii) влечет перестановочность операторов G(s) и G(t)
для всех s, t > 0. Из условия (iii) следует, что для каждого t
0
> 0 мно-
жество {t ∈ R | kG(t)k
L(B)
> t
0
} открыто и, следовательно, измеримо.
Если 0 6 t
0
< t
1
< ∞, то функция G(·)b равномерно непрерывна на
[t
0
, t
1
] для каждого b ∈ B, и, следовательно, существует положительная
константа K
b
такая, что kG(t)bk
B
6 K
b
для всех t ∈ [t
0
, t
1
]. В силу прин-
ципа равномерной ограниченности отсюда вытекает, что kG(t)k
L(B)
6 K
на [t
0
, t
1
]. Таким образом, kG(·)k
L(B)
∈ L
∞
[0, t
0
] для любого t
0
> 0.
Лемма 4.1. (a) Существует предел
lim
t→∞
ln kG(t)k
L(B)
t
= δ
0
< +∞.
(b) Для каждого δ > δ
0
существует постоянная M
δ
такая, что
для всех t > 0
kG(t)k
L(B)
6 M
δ
e
δt
.
Доказательство. Пусть N(t) = ln kG(t)k
L(B)
. Так как
kG(s + t)k
L(B)
6 kG(s)k
L(B)
kG(t)k
L(B)
,
то
N(s + t) 6 N(s) + N(t).
Положим δ
0
= inf
t>0
N(t)/t. Ясно, что −∞ 6 δ
0
< +∞. Для произвольного
δ > δ
0
выберем r > 0 так, чтобы N(r)/r < δ. Если t > 2r, то пусть k
будет таким целым числом, что (k + 1)r 6 t < (k + 2)r. Тогда
δ
0
6
N(t)
t
6
N(kr) + N(t − kr)
t
6
k
t
N(r) +
1
t
N(t − kr).
94                                        Пространства Соболева дробного порядка


     § 2. Полугруппы операторов и абстрактная задача Коши

   Пусть B — банахово пространство, и L(B) — пространство линейных
непрерывных операторов из B в B.
   Определение 4.1. Функция G : [0, ∞) → L(B) называется непре-
рывной полугруппой на B, если
   (i) G(0) = I (тождественный оператор);
   (ii) G(s)G(t) = G(s + t) ∀s, t > 0;
   (iii) для каждого b ∈ B функция G(·)b непрерывна из [0, ∞) в B.
       Заметим, что (ii) влечет перестановочность операторов G(s) и G(t)
для всех s, t > 0. Из условия (iii) следует, что для каждого t0 > 0 мно-
жество {t ∈ R | kG(t)kL(B) > t0 } открыто и, следовательно, измеримо.
Если 0 6 t0 < t1 < ∞, то функция G(·)b равномерно непрерывна на
[t0 , t1 ] для каждого b ∈ B, и, следовательно, существует положительная
константа Kb такая, что kG(t)bkB 6 Kb для всех t ∈ [t0 , t1 ]. В силу прин-
ципа равномерной ограниченности отсюда вытекает, что kG(t)kL(B) 6 K
на [t0 , t1 ]. Таким образом, kG(·)kL(B) ∈ L∞ [0, t0 ] для любого t0 > 0.
     Лемма 4.1. (a) Существует предел
                             ln kG(t)kL(B)
                       lim            = δ0 < +∞.
                       t→∞    t
     (b) Для каждого δ > δ0 существует постоянная Mδ такая, что
     для всех t > 0
                          kG(t)kL(B) 6 Mδ eδt .

     Доказательство. Пусть N (t) = ln kG(t)kL(B) . Так как
                   kG(s + t)kL(B) 6 kG(s)kL(B) kG(t)kL(B) ,
то
                             N (s + t) 6 N (s) + N (t).
Положим δ0 = inf N (t)/t. Ясно, что −∞ 6 δ0 < +∞. Для произвольного
                 t>0
δ > δ0 выберем r > 0 так, чтобы N (r)/r < δ. Если t > 2r, то пусть k
будет таким целым числом, что (k + 1)r 6 t < (k + 2)r. Тогда
                N (t) N (kr) + N (t − kr)  k       1
         δ0 6        6                    6 N (r) + N (t − kr).
                 t             t           t       t

Страницы