Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Банаховозначные функции, интеграл Бохнера 93
то f называется интегрируемой по Бохнеру на интервале (a, b). При этом
полагают
b
Z
a
f(t)dt = lim
n→∞
b
Z
a
f
n
(t)dt.
Последовательность элементов пространства B в правой части сходится
ввиду неравенства для простых функций
k
b
Z
a
f(t)dtk
B
6
b
Z
a
kf(t)k
B
dt,
которое предельным переходом обобщается на интегрируемые по Бохне-
ру функции. В дальнейшем всюду, где встречается интеграл от измери-
мой банаховозначной функции, он будет пониматься в смысле Бохнера.
Для p ∈ [1, ∞] через L
p
(a, b; B) обозначается множество всех изме-
римых функций f : (a, b) → B таких, что функция kf(·)k
B
является
элементом пространства L
p
(a, b). Пространство L
p
(a, b; B) является ба-
наховым пространством относительно нормы
kfk
L
p
(a,b;B)
=
b
Z
a
kf(t)k
p
B
dt
1/p
, p ∈ [1, ∞),
kfk
L
∞
(a,b;B)
= ess sup
a6t6b
kf(t)k
B
, p = ∞.
Функция f называется локально интегрируемой, если для всех c, d из
(a, b) таких, что c < d, функция f принадлежит L
1
(c, d; B). В этом случае
пишут f ∈ L
1,loc
(a, b; B).
Локально интегрируемая функция g : (a, b) → B называется слабой
производной порядка j локально интегрируемой функции f : (a, b) → B,
если
b
Z
a
ϕ
(j)
(t)f(t)dt = (−1)
j
b
Z
a
ϕ(t)g(t)dt
для всех вещественнозначных функций ϕ ∈ C
∞
0
(a, b).
§ 1. Банаховозначные функции, интеграл Бохнера                             93


то f называется интегрируемой по Бохнеру на интервале (a, b). При этом
полагают
                      Zb               Zb
                         f (t)dt = lim    fn (t)dt.
                                        n→∞
                           a                      a
Последовательность элементов пространства B в правой части сходится
ввиду неравенства для простых функций
                           Zb                 Zb
                       k        f (t)dtkB 6        kf (t)kB dt,
                           a                  a

которое предельным переходом обобщается на интегрируемые по Бохне-
ру функции. В дальнейшем всюду, где встречается интеграл от измери-
мой банаховозначной функции, он будет пониматься в смысле Бохнера.
   Для p ∈ [1, ∞] через Lp (a, b; B) обозначается множество всех изме-
римых функций f : (a, b) → B таких, что функция kf (·)kB является
элементом пространства Lp (a, b). Пространство Lp (a, b; B) является ба-
наховым пространством относительно нормы
                             b           1/p
                             Z
           kf kLp (a,b;B) =  kf (t)kpB dt ,     p ∈ [1, ∞),
                                 a

               kf kL∞ (a,b;B) = ess sup kf (t)kB ,                p = ∞.
                                      a6t6b

Функция f называется локально интегрируемой, если для всех c, d из
(a, b) таких, что c < d, функция f принадлежит L1 (c, d; B). В этом случае
пишут f ∈ L1,loc (a, b; B).
     Локально интегрируемая функция g : (a, b) → B называется слабой
производной порядка j локально интегрируемой функции f : (a, b) → B,
если
                    Zb                        Zb
                       ϕ(j) (t)f (t)dt = (−1)j ϕ(t)g(t)dt
                   a                                  a
для всех вещественнозначных функций ϕ ∈ C0∞ (a, b).

Страницы