Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

92 Пространства Соболева дробного порядка
которая каждому t ∈ S ставит в соответствие производную от f в
точке t, называют производной первого порядка банаховозначной функ-
ции f. Аналогично определяются производные и более высоких поряд-
ков.
Через C
m
(S; B) будем обозначать множество функций f : S → B,
обладающих непрерывными производными до порядка m включитель-
но. В случае компактного интервала S множество C
m
(S; B) является
банаховым пространством с нормой
kfk
C
m
(S;B)
=
m
X
j=0
sup
t∈S
kf
(j)
(t)k
B
,
где f
(j)
(t) — производная порядка j от функции f в точке t.
Введем понятие интеграла для банаховозначных функций. Пусть
−∞ 6 a < b 6 ∞. Функция f : (a, b) → B называется простой, ес-
ли она имеет вид
f(t) =
m
X
j=1
χ
A
j
(t)u
j
,
где {A
j
}
m
j=1
— конечное семейство измеримых по Лебегу попарно непе-
ресекающихся подмножеств (a, b), χ
A
j
— характеристическая функция
множества A
j
, {u
j
}
m
j=1
— набор элементов из B. Для простой функции
полагаем
b
Z
a
f(t)dt =
m
X
j=1
mes (A
j
)u
j
,
где mes (A) — мера Лебега множества A.
Функция f : (a, b) → B называется измеримой, если существует по-
следовательность простых функций {f
n
} таких, что
lim
n→∞
kf
n
(t) − f(t)k
B
= 0 п.в. на (a, b).
Если, кроме того, эту последовательность можно выбрать так, что
lim
n→∞
b
Z
a
kf
n
(t) − f(t)k
B
dt = 0,
92                                      Пространства Соболева дробного порядка


которая каждому t ∈ S ставит в соответствие производную от f в
точке t, называют производной первого порядка банаховозначной функ-
ции f . Аналогично определяются производные и более высоких поряд-
ков.
    Через C m (S; B) будем обозначать множество функций f : S → B,
обладающих непрерывными производными до порядка m включитель-
но. В случае компактного интервала S множество C m (S; B) является
банаховым пространством с нормой
                                      m
                                      X
                  kf kC m (S;B) =           sup kf (j) (t)kB ,
                                      j=0 t∈S

где f (j) (t) — производная порядка j от функции f в точке t.
    Введем понятие интеграла для банаховозначных функций. Пусть
−∞ 6 a < b 6 ∞. Функция f : (a, b) → B называется простой, ес-
ли она имеет вид
                                    m
                                    X
                            f (t) =   χAj (t)uj ,
                                     j=1

где {Aj }m
         j=1 — конечное семейство измеримых по Лебегу попарно непе-
ресекающихся подмножеств (a, b), χAj — характеристическая функция
множества Aj , {uj }m
                    j=1 — набор элементов из B. Для простой функции
полагаем
                       Zb           m
                                    X
                          f (t)dt =   mes (Aj )uj ,
                      a               j=1

где mes (A) — мера Лебега множества A.
    Функция f : (a, b) → B называется измеримой, если существует по-
следовательность простых функций {fn } таких, что

               lim kfn (t) − f (t)kB = 0 п.в. на (a, b).
               n→∞

Если, кроме того, эту последовательность можно выбрать так, что
                           Zb
                     lim        kfn (t) − f (t)kB dt = 0,
                     n→∞
                           a

Страницы