Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 4
Пространства Соболева дробного порядка
В данной главе определяются пространства Соболева W
s
p
(Ω) с
нецелым s. Для упрощения изложения мы ограничиваемся случаем
0 < s < 1; аналогичным образом можно рассмотреть пространства для
любых нецелых s > 0. Пространства подобного типа естественным об-
разом возникают при описании граничных свойств функций классиче-
ских пространств Соболева, но представляют также интерес и с других
точек зрения, например, в теории интерполяции функциональных про-
странств.
При изложение основ теории пространств с дробным порядком диф-
ференцирования мы существенно используем интерполяционный "метод
следов" Лионса, привлекая аппарат интегрирования и обобщенного диф-
ференцирования функций со значениями в банаховом пространстве.
§ 1. Банаховозначные функции, интеграл Бохнера
Банаховозначной функцией будем называть отображение числового
интервала S в банахово пространство B и обозначать: "f : S → B".
Пусть C(S; B) — множество непрерывных отображений S → B. Если
интервал S компактен, то C(S; B) является банаховым пространством
с нормой
kfk
C(S;B)
= sup
t∈S
kf(t)k
B
.
Функция f : S → B называется дифференцируемой в точке t ∈ S,
если существует элемент b ∈ B такой, что
lim
h→0
t+h∈S
°
°
°
°
f(t + h) − f(t)
h
− b
°
°
°
°
B
= 0 .
Элемент b называют производной от f в точке t и обозначают f
0
(t).
Функция f : S → B называется дифференцируемой, если она дифферен-
цируема в каждой точке интервала S. При этом функция f
0
(t) : S → B,
                              Глава 4
       Пространства Соболева дробного порядка


   В данной главе определяются пространства Соболева Wps (Ω) с
нецелым s. Для упрощения изложения мы ограничиваемся случаем
0 < s < 1; аналогичным образом можно рассмотреть пространства для
любых нецелых s > 0. Пространства подобного типа естественным об-
разом возникают при описании граничных свойств функций классиче-
ских пространств Соболева, но представляют также интерес и с других
точек зрения, например, в теории интерполяции функциональных про-
странств.
   При изложение основ теории пространств с дробным порядком диф-
ференцирования мы существенно используем интерполяционный "метод
следов" Лионса, привлекая аппарат интегрирования и обобщенного диф-
ференцирования функций со значениями в банаховом пространстве.

      § 1. Банаховозначные функции, интеграл Бохнера

    Банаховозначной функцией будем называть отображение числового
интервала S в банахово пространство B и обозначать: "f : S → B".
Пусть C(S; B) — множество непрерывных отображений S → B. Если
интервал S компактен, то C(S; B) является банаховым пространством
с нормой
                     kf kC(S;B) = sup kf (t)kB .
                                   t∈S
   Функция f : S → B называется дифференцируемой в точке t ∈ S,
если существует элемент b ∈ B такой, что
                       °                       °
                       ° f (t + h) − f (t)     °
                   lim °                   − b ° = 0.
                   h→0 °         h             °
                  t+h∈S                    B

Элемент b называют производной от f в точке t и обозначают f 0 (t).
Функция f : S → B называется дифференцируемой, если она дифферен-
цируема в каждой точке интервала S. При этом функция f 0 (t) : S → B,

Страницы