Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Компактные вложения W
m
p
(Ω). 89
компактно для
p 6 q < (n − 1)p/(n − mp), если n > mp;
p 6 q < ∞, если n = mp.
Доказательство. Пусть M — произвольное ограниченное в W
m
p
(Ω)
множество. Докажем, что множество следов функций из M компакт-
но в L
q
(∂Ω). Из свойства равномерной C
m
-регулярности и ограничен-
ности области Ω следует существование конечного открытого покрытия
{U
j
}
N
j=1
множества ∂Ω и набора m-гладких взаимно однозначных функ-
ций {Ψ
j
}
N
j=1
, отображающих B = {y ∈ R
n
| |y| < 1} на множество U
j
так, что
U
j
\
∂Ω = Ψ
j
(B
0
), B
0
= {y ∈ B | y
n
= 0}.
Имеем
kE uk
m,p,U
j
6 kE uk
m,p,R
n
6 K kuk
m,p,Ω
6 K ∀u ∈ M.
Используя m-гладкость функций Ψ
j
, нетрудно показать (см. также до-
казательство теоремы 3.5), что
kEu ◦ Ψ
j
k
m,p,B
6 K
1
kE uk
m,p,U
j
,
то есть множество функций {Eu ◦ Ψ
j
| u ∈ M} равномерно ограничено
в W
m
p
(B). По теореме 3.9 найдется последовательность {Eu
j
n
◦ Ψ
j
}
∞
n=1
,
где u
j
n
∈ M, фундаментальная в L
q
(B
0
). Поскольку покрытие {U
j
}
N
j=1
содержит конечное число элементов, то, очевидно, найдется последова-
тельность {u
n
}
∞
n=1
⊂ M такая, что при каждом j последовательность
{Eu
n
◦Ψ
j
}
∞
n=1
фундаментальна. Докажем, что {Eu
n
}
∞
n=1
фундаменталь-
на в L
q
(∂Ω). Используя неравенство (3.7), запишем следующие соотно-
шения
Z
∂Ω
|Eu
n
(x) − Eu
l
(x)|
q
dσ 6
N
X
j=1
Z
U
j
T
∂Ω
|E (u
n
− u
l
)(x)|
q
dσ 6
6 K
3
N
X
j=1
kE u
n
◦ Ψ
j
− E u
l
◦ Ψ
j
k
q
0,q,B
0
→ 0 при n, l → ∞.
Теорема доказана.
§ 5. Компактные вложения Wpm (Ω).                                                89


компактно для
               p 6 q < (n − 1)p/(n − mp),               если   n > mp;
                       p 6 q < ∞,                       если   n = mp.

    Доказательство. Пусть M — произвольное ограниченное в Wpm (Ω)
множество. Докажем, что множество следов функций из M компакт-
но в Lq (∂Ω). Из свойства равномерной C m -регулярности и ограничен-
ности области Ω следует существование конечного открытого покрытия
{Uj }N
     j=1 множества ∂Ω и набора m-гладких взаимно однозначных функ-
ций {Ψj }N                              n
          j=1 , отображающих B = {y ∈ R | |y| < 1} на множество Uj
так, что          \
               Uj   ∂Ω = Ψj (B0 ), B0 = {y ∈ B | yn = 0}.
Имеем
          kE ukm,p,Uj 6 kE ukm,p,Rn 6 K kukm,p,Ω 6 K                ∀u ∈ M.
Используя m-гладкость функций Ψj , нетрудно показать (см. также до-
казательство теоремы 3.5), что
                        kEu ◦ Ψj km,p,B 6 K 1 kE ukm,p,Uj ,
то есть множество функций {Eu ◦ Ψj | u ∈ M } равномерно ограничено
в Wpm (B). По теореме 3.9 найдется последовательность {Eujn ◦ Ψj }∞ n=1 ,
где ujn ∈ M , фундаментальная в Lq (B0 ). Поскольку покрытие {Uj }N  j=1
содержит конечное число элементов, то, очевидно, найдется последова-
тельность {un }∞ n=1 ⊂ M такая, что при каждом j последовательность
{Eun ◦Ψj }n=1 фундаментальна. Докажем, что {Eun }∞
           ∞
                                                    n=1 фундаменталь-
на в Lq (∂Ω). Используя неравенство (3.7), запишем следующие соотно-
шения
     Z                            N
                                  X    Z
                            q
         |Eun (x) − Eul (x)| dσ 6           |E (un − ul )(x)|q dσ 6
                                        j=1        T
     ∂Ω                                       Uj       ∂Ω

             N
             X
    6 K3           kE un ◦ Ψj − E ul ◦ Ψj kq0,q,B0 → 0          при n, l → ∞ .
             j=1
Теорема доказана.

Страницы