Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Компактные вложения W
m
p
(Ω). 87
Используя ограниченность области Ω
0
, из последнего неравенства при
достаточно большом j(ε) нетрудно получить (5.14) и оценку
Z
Ω
0
\Ω
j(ε)
|˜u(x + h) − ˜u(x)|dx < ε/2 ∀h ∈ R
n
. (5.16)
Докажем теперь, что при |h| < 1/j(ε)
Z
Ω
j(ε)
|˜u(x + h) − ˜u(x)|dx < ε/2 ∀u ∈ S .
Для любой функции u ∈ C
∞
(Ω) имеем
Z
Ω
j(ε)
|u(x + h) − u(x)|dx 6
Z
Ω
j(ε)
dx
1
Z
0
¯
¯
¯
¯
d
d t
u(x + th)
¯
¯
¯
¯
dt 6
6 |h|
1
Z
0
dt
Z
Ω
2 j(ε)
|grad u(y)|dy 6 |h|kuk
1,1,Ω
0
6 K
2
|h|kuk
m,p,Ω
, (5.17)
поскольку x + th ∈ Ω
2 j(ε)
для всех x ∈ Ω и 0 6 t 6 1. В (5.17) по-
стоянная K
2
не зависит от u и h. Так как C
∞
(Ω) плотно в W
m
p
(Ω), то
(5.17) справедливо для любого u ∈ W
m
p
(Ω). Поэтому (5.15) также имеет
место при достаточно больших j(ε). По теореме 1.7 из (5.14), (5.15) и
ограниченности множества S следует предкомпактность этого множе-
ства и компактность вложения (5.13) при q = 1, следовательно, и при
1 6 q < q
0
.
Теперь рассмотрим случай k < n, а p > 1. Пусть r выбрано так,
что 1 < r < p и n − mr < k. Пусть ν — наибольшее целое число,
меньшее mr, s = kr/(n − mr), q = nr/(n − mr). Воспользуемся первой
оценкой в (2.45), полученной при доказательстве теоремы 3.4, полагая
¯p = r, ¯q
0
= q, ¯s = q, ¯ν = ν (символами ¯p, ¯q
0
, ¯s, ¯ν обозначены параметры
p, q
0
, s, ν из теоремы 3.4). В результате получим
kuk
0,1,Ω
k
0
6 K
3
kuk
0,s,Ω
k
0
6
6 K
4
kuk
β
0,q,Ω
0
kuk
1−β
m,r,Ω
0
6 K
5
kuk
β
0,q,Ω
0
kuk
1−β
m,p,Ω
, (5.18)
§ 5. Компактные вложения Wpm (Ω).                                                    87


Используя ограниченность области Ω0 , из последнего неравенства при
достаточно большом j(ε) нетрудно получить (5.14) и оценку
             Z
                 |ũ(x + h) − ũ(x)| dx < ε/2  ∀ h ∈ Rn .     (5.16)
               Ω0 \Ωj(ε)

    Докажем теперь, что при |h| < 1/j(ε)
             Z
                |ũ(x + h) − ũ(x)| dx < ε/2                      ∀u ∈ S .
                    Ωj(ε)

Для любой функции u ∈ C ∞ (Ω) имеем
          Z                                      Z         Z1 ¯          ¯
                                                              ¯d         ¯
               |u(x + h) − u(x)| dx 6                   dx    ¯ u(x + th)¯ dt 6
                                                              ¯d t       ¯
       Ωj(ε)                                    Ωj(ε)      0

          Z1          Z
  6 |h|        dt             |grad u(y)| dy 6 |h| kuk1,1,Ω0 6 K2 |h| kukm,p,Ω , (5.17)
          0         Ω2 j(ε)

поскольку x + th ∈ Ω2 j(ε) для всех x ∈ Ω и 0 6 t 6 1. В (5.17) по-
стоянная K2 не зависит от u и h. Так как C ∞ (Ω) плотно в Wpm (Ω), то
(5.17) справедливо для любого u ∈ Wpm (Ω). Поэтому (5.15) также имеет
место при достаточно больших j(ε). По теореме 1.7 из (5.14), (5.15) и
ограниченности множества S следует предкомпактность этого множе-
ства и компактность вложения (5.13) при q = 1, следовательно, и при
 1 6 q < q0 .
     Теперь рассмотрим случай k < n, а p > 1. Пусть r выбрано так,
что 1 < r < p и n − mr < k. Пусть ν — наибольшее целое число,
меньшее mr, s = kr/(n − mr), q = nr/(n − mr). Воспользуемся первой
оценкой в (2.45), полученной при доказательстве теоремы 3.4, полагая
p̄ = r, q¯0 = q, s̄ = q, ν̄ = ν (символами p̄, q¯0 , s̄, ν̄ обозначены параметры
 p, q0 , s, ν из теоремы 3.4). В результате получим

                                   kuk0,1,Ωk0 6 K3 kuk0,s,Ωk0 6

                6 K4 kukβ0,q,Ω0 kuk1−β            β         1−β
                                   m,r,Ω0 6 K5 kuk0,q,Ω0 kukm,p,Ω ,               (5.18)

Страницы