Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

86 Глава 3. Теоремы вложения
Доказательство. Как уже отмечалось при доказательстве теоремы
3.8, можно полагать, что j = 0, и Ω
0
обладает свойством конуса. Ясно,
что Ω
k
0
также будет обладать свойством конуса.
Сначала докажем, что вложение (5.12) компактно при k = n и при
q = q
0
≡ np/(n − mp). Используя теорему 3.2 и лемму 3.8, нетрудно
показать, что компактность вложения
W
m
p
(Ω) → L
q
(Ω
0
) (5.13)
для 1 6 q < q
0
следует из компактности (5.13) при q = 1.
Докажем компактность (5.13) при q = 1. При этом будем использо-
вать теорему 1.7. Пусть
Ω
j
= {x ∈ Ω
0
| dist (x, ∂Ω
0
) > 2/j }, j = 1 , 2, 3, . . . .
Если S — ограниченное в W
m
p
(Ω) множество, то, очевидно, оно ограни-
чено и в L
1
(Ω
0
). Покажем, что для любого ε > 0 найдется j(ε) такое,
что для всех u ∈ S справедливы оценки
Z
Ω
0
\Ω
j(ε)
|u(x)|dx < ε , (5.14)
Z
Ω
0
|˜u(x + h) − ˜u(x)|dx < ε ∀h ∈ R
n
, |h| < 1/j(ε). (5.15)
Здесь
˜u(x) =
(
u(x), x ∈ Ω
0
,
0, x ∈ R
n
\ Ω
0
.
По неравенству Гельдера и теореме 3.2 имеем
Z
Ω
0
\Ω
j(ε)
|u(x)|dx 6
¡
mes (Ω
0
\ Ω
j(ε)
)
¢
1−1/q
0
½
Z
Ω
0
\Ω
j(ε)
|u(x)|
q
0
dx
¾
1/q
0
6
6 K
1
kuk
m,p,Ω
¡
mes (Ω
0
\ Ω
j(ε)
)
¢
1−1/q
0
.
86                                                           Глава 3. Теоремы вложения




    Доказательство. Как уже отмечалось при доказательстве теоремы
3.8, можно полагать, что j = 0, и Ω0 обладает свойством конуса. Ясно,
что Ωk0 также будет обладать свойством конуса.
    Сначала докажем, что вложение (5.12) компактно при k = n и при
q = q0 ≡ np/(n − mp). Используя теорему 3.2 и лемму 3.8, нетрудно
показать, что компактность вложения

                                  Wpm (Ω) → Lq (Ω0 )                                  (5.13)

для 1 6 q < q0 следует из компактности (5.13) при q = 1.
   Докажем компактность (5.13) при q = 1. При этом будем использо-
вать теорему 1.7. Пусть

          Ωj = { x ∈ Ω0 | dist (x, ∂Ω0 ) > 2/j },              j = 1, 2, 3, . . . .

Если S — ограниченное в Wpm (Ω) множество, то, очевидно, оно ограни-
чено и в L1 (Ω0 ). Покажем, что для любого ε > 0 найдется j(ε) такое,
что для всех u ∈ S справедливы оценки
                           Z
                                |u(x)| dx < ε ,                (5.14)
                               Ω0 \Ωj(ε)
      Z
             |ũ(x + h) − ũ(x)| dx < ε         ∀ h ∈ Rn ,   |h| < 1/j(ε).            (5.15)
     Ω0

Здесь                               (
                                           u(x), x ∈ Ω0 ,
                          ũ(x) =
                                            0, x ∈ Rn \ Ω0 .
По неравенству Гельдера и теореме 3.2 имеем
   Z                                         ½ Z                               ¾1/q0
                   ¡                 ¢1−1/q0
        |u(x)| dx 6 mes (Ω0 \ Ωj(ε) )                               |u(x)|q0 dx      6
 Ω0 \Ωj(ε)                                              Ω0 \Ωj(ε)

                                   ¡                 ¢1−1/q0
                      6 K1 kukm,p,Ω mes (Ω0 \ Ωj(ε) )        .

Страницы