Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

84 Глава 3. Теоремы вложения
Доказательство. Здесь также рассмотрим лишь случай j = 0. Не
ограничивая общности, можно предполагать, что Ω
0
также обладает
свойством конуса. Действительно, если это не так, то введем в рассмотре-
ние область
e
Ω, которая является объединением всех конечных конусов,
конгруэнтных конусу C, содержащихся в Ω и имеющих непустое пере-
сечение с Ω
0
. Ясно, что Ω
0
⊂
e
Ω ⊂ Ω, область
e
Ω ограничена и обладает
свойством конуса. Если вложение W
m
p
(Ω) → X(
e
Ω) является компакт-
ным, то, очевидно, компактно и вложение W
m
p
(Ω) → X(Ω
0
).
Итак, полагаем, что Ω
0
обладает свойством конуса, кроме того, она
ограничена. Тогда по теореме 3.1 она представима в виде объединения
конечного числа подобластей:
Ω
0
=
ℵ
[
j=1
Ω
j
,
причем каждая область Ω
j
обладает сильным локальным свойством
Липшица. Если mp > n, то
W
m
p
(Ω) → W
m
p
(Ω
j
) → C
0
(Ω
j
),
причем последнее вложение по теореме 3.7 компактно. Пусть {u
i
} —
ограниченная в W
m
p
(Ω) последовательность. Поскольку число обла-
стей Ω
j
конечно, то можно выделить подпоследовательность {u
0
i
}, сходя-
щуюся в C
0
(Ω
j
) для всех 1 6 j 6 ℵ. Но тогда {u
0
i
} сходится в C
0
B
(Ω
0
).
Компактность вложения (5.6) доказана.
Заметим, что из (5.6), в частности, следует компактность вложения
W
m
p
(Ω) → C
0
B
(Ω
k
0
). Используя этот факт, нетрудно убедиться в справед-
ливости (5.7), если учесть, что для ограниченных областей
kuk
0,q,Ω
k
0
6
¡
mes Ω
k
0
¢
1/q
kuk
C
0
B
(Ω
k
0
)
.
Лемма 3.8. Пусть Ω — область пространства R
n
, обладающая
свойством конуса, Ω
0
— подобласть Ω, множество Ω
k
0
является пере-
сечением Ω
0
с k-мерной плоскостью в R
n
, k ∈ [1, n]. Кроме того, пусть
1 6 q
1
< q
0
, и
W
m
p
(Ω) → L
q
0
(Ω
k
0
), (5.8)
84                                                Глава 3. Теоремы вложения


    Доказательство. Здесь также рассмотрим лишь случай j = 0. Не
ограничивая общности, можно предполагать, что Ω0 также обладает
свойством конуса. Действительно, если это не так, то введем в рассмотре-
             e которая является объединением всех конечных конусов,
ние область Ω,
конгруэнтных конусу C, содержащихся в Ω и имеющих непустое пере-
                              e ⊂ Ω, область Ω
сечение с Ω0 . Ясно, что Ω0 ⊂ Ω                e ограничена и обладает
свойством конуса. Если вложение Wpm (Ω) → X(Ω)    e является компакт-
ным, то, очевидно, компактно и вложение Wpm (Ω) → X(Ω0 ).
    Итак, полагаем, что Ω0 обладает свойством конуса, кроме того, она
ограничена. Тогда по теореме 3.1 она представима в виде объединения
конечного числа подобластей:
                                     ℵ
                                     [
                              Ω0 =         Ωj ,
                                     j=1

причем каждая область Ωj обладает сильным локальным свойством
Липшица. Если mp > n, то

                     Wpm (Ω) → Wpm (Ωj ) → C 0 (Ωj ),

причем последнее вложение по теореме 3.7 компактно. Пусть {ui } —
ограниченная в Wpm (Ω) последовательность. Поскольку число обла-
стей Ωj конечно, то можно выделить подпоследовательность {u0i }, сходя-
щуюся в C 0 (Ωj ) для всех 1 6 j 6 ℵ. Но тогда {u0i } сходится в CB0 (Ω0 ).
Компактность вложения (5.6) доказана.
    Заметим, что из (5.6), в частности, следует компактность вложения
Wp (Ω) → CB0 (Ωk0 ). Используя этот факт, нетрудно убедиться в справед-
   m

ливости (5.7), если учесть, что для ограниченных областей
                                ¡        ¢1/q
                    kuk0,q,Ωk0 6 mes Ωk0      kukCB0 (Ωk0 ) .

    Лемма 3.8. Пусть Ω — область пространства Rn , обладающая
свойством конуса, Ω0 — подобласть Ω, множество Ωk0 является пере-
сечением Ω0 с k-мерной плоскостью в Rn , k ∈ [1, n]. Кроме того, пусть
1 6 q1 < q0 , и
                        Wpm (Ω) → Lq0 (Ωk0 ),                     (5.8)

Страницы