Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

82 Глава 3. Теоремы вложения
условия определения 3.5, кроме 3). Условие 3) заменяется следующим бо-
лее слабым: для каждого j существует число 1 6 k
j
6 n такое, что
Φ
j
(U
j
∩ Ω) = {y ∈ B | y
i
> 0, k
j
6 i 6 n }.
Следствие 3.6. Если Ω обладает свойством кусочно-равномерной
C
m
-регулярности, и ∂Ω — ограниченное множество, то оператор силь-
ного m-продолжения существует.
Доказательство. Построение оператора сильного m-продолжения
проводится по той же схеме, что и построение оператора
e
E в теореме
3.6, но при этом при определении функции θ
j
вместо E нужно исполь-
зовать оператор
b
E = E
(k
j
)
E
(k
j
+1)
. . . E
(n)
,
и полагать
Q =
½
y ∈ R
n
¯
¯
¯
¯
µ
k
j
−1
X
i=1
(y
i
)
2
1/2
< 1/2,
µ
n
X
i=k
j
(y
i
)
2
1/2
<
√
3/2
¾
.
§ 5. Компактные вложения W
m
p
(Ω).
Почти все вложения W
m
p
(Ω), доказанные в параграфе 3, для огра-
ниченных областей Ω являются компактными. В этом параграфе для
произвольной не обязательно ограниченной области Ω будет установле-
на компактность вложений вида
W
m
p
(Ω) → X(Ω
0
), (5.1)
где Ω
0
— ограниченная подобласть Ω, а X(Ω
0
) совпадает либо с W
j
q
(Ω
0
),
либо с C
j,λ
(Ω
0
), либо с W
j
q
(Ω
k
0
). Если Ω — ограниченная область, то в
качестве Ω
0
может быть выбрана сама область Ω.
Следует отметить, что первые результаты о компактности вложения
были получены Реллихом (для W
1
2
(Ω) [10]) и В.И.Кондрашовым (для
более общих пространств Соболева [5]), поэтому в математической лите-
ратуре излагаемые ниже теоремы обычно называют теоремами Релли-
ха — Кондрашова.
82                                                   Глава 3. Теоремы вложения


условия определения 3.5, кроме 3). Условие 3) заменяется следующим бо-
лее слабым: для каждого j существует число 1 6 kj 6 n такое, что

              Φj (Uj ∩ Ω) = { y ∈ B | yi > 0, kj 6 i 6 n }.


     Следствие 3.6. Если Ω обладает свойством кусочно-равномерной
C m -регулярности, и ∂Ω — ограниченное множество, то оператор силь-
ного m-продолжения существует.
    Доказательство. Построение оператора сильного m-продолжения
проводится по той же схеме, что и построение оператора E    e в теореме
3.6, но при этом при определении функции θj вместо E нужно исполь-
зовать оператор
                       Eb = E (kj ) E (kj +1) . . . E (n) ,

и полагать
         ½      ¯ µ kj −1        ¶1/2          µX
                                                n                 ¶1/2              ¾
                ¯   X                                                        √
    Q = y ∈ Rn ¯¯         (yi )2      < 1/2,             (yi )2          <       3/2 .
                        i=1                       i=kj


                § 5. Компактные вложения Wpm (Ω).

    Почти все вложения Wpm (Ω), доказанные в параграфе 3, для огра-
ниченных областей Ω являются компактными. В этом параграфе для
произвольной не обязательно ограниченной области Ω будет установле-
на компактность вложений вида

                              Wpm (Ω) → X(Ω0 ),                                      (5.1)

где Ω0 — ограниченная подобласть Ω, а X(Ω0 ) совпадает либо с Wqj (Ω0 ),
либо с C j,λ (Ω0 ), либо с Wqj (Ωk0 ). Если Ω — ограниченная область, то в
качестве Ω0 может быть выбрана сама область Ω.
    Следует отметить, что первые результаты о компактности вложения
были получены Реллихом (для W21 (Ω) [10]) и В.И.Кондрашовым (для
более общих пространств Соболева [5]), поэтому в математической лите-
ратуре излагаемые ниже теоремы обычно называют теоремами Релли-
ха — Кондрашова.

Страницы