Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

80 Глава 3. Теоремы вложения
Положим V
j
= Ψ
j
(Q). По условию 1) определения 3.5 объединение мно-
жеств V
j
является при некотором δ > 0 открытым покрытием Ω
δ
. Пусть
V
0
— открытое множество из Ω, находящееся от ∂Ω на расстоянии боль-
ше или равным δ, такое, что Ω =
N
[
j=0
V
j
. Согласно теореме 1.1 найдутся
бесконечно дифференцируемые функции ω
0
, ω
1
, . . . , ω
N
, для которых
supp ω
j
⊂ V
j
,
N
X
j=0
ω
j
(x) = 1 для почти всех x ∈ Ω.
Заметим, что носитель ω
0
может не быть компактом, если Ω неограни-
чена.
Далее, так как из свойства равномерной C
m
-регулярности следует
свойство сегмента, то множество, состоящее из сужений на Ω функций
из C
∞
0
(R
n
), плотно в W
m
p
(Ω). Поэтому для доказательства теоремы тре-
буемое продолжение достаточно построить для сужения на Ω функции
из C
∞
0
(R
n
). Итак, пусть ϕ ∈ C
∞
0
(R
n
). Определим функции ϕ
j
= ω
j
ϕ.
Ясно, что
N
P
j=0
ϕ
j
совпадает с ϕ на Ω.
Для j > 1 и y ∈ B обозначим через ψ
j
(y) = ϕ
j
(Ψ
j
(y)). По теоре-
ме 2.7
kψ
j
k
m,p,B
6 K
1
kϕ
j
k
m,p,U
j
. (4.2)
Заметим, что ψ
j
принадлежит C
∞
0
(Q), поскольку ϕ
j
∈ C
∞
0
(V
j
) по по-
строению. Продолжим ψ
j
нулем вне Q. Пусть E ψ
j
— функция, опреде-
ленная с помощью равенства (4.1). Из определения оператора E следует,
что E ψ
j
(y
0
, −y
n
) = 0, если ψ
j
(y) = 0. Поэтому из неравенства (3.2) име-
ем
kE ψ
j
k
m,p,R
n
= kE ψ
j
k
m,p,Q
6 K
2
kψ
j
k
m,p,R
n
+
= K
2
kψ
j
k
m,p,Q
+
, (4.3)
здесь Q
+
= {y ∈ Q | y
n
> 0}, K
1
— постоянная, зависящая только от p.
Рассмотрим функцию θ
j
(x) = E ψ
j
(Φ
j
(x)) (напомним, что Φ
j
= Ψ
−1
j
).
Очевидно, что θ
j
∈ C
m
0
(V
j
) и θ
j
(x) = ϕ
j
(x), если x ∈ Ω. Далее, по
теореме 2.7
kθ
j
k
m,p,R
n
= kE ψ
j
◦ Φ
j
k
m,p,R
n
= kE ψ
j
◦ Φ
j
k
m,p,V
j
6 K
1
kE ψ
j
k
m,p,Q
.
80                                                  Глава 3. Теоремы вложения


Положим Vj = Ψj (Q). По условию 1) определения 3.5 объединение мно-
жеств Vj является при некотором δ > 0 открытым покрытием Ωδ . Пусть
V0 — открытое множество из Ω, находящееся от ∂Ω на расстоянии боль-
                                [N
ше или равным δ, такое, что Ω =    Vj . Согласно теореме 1.1 найдутся
                                      j=0
бесконечно дифференцируемые функции ω0 , ω1 , . . . , ωN , для которых
                             N
                             X
         supp ωj ⊂ Vj ,            ωj (x) = 1 для почти всех x ∈ Ω.
                             j=0

Заметим, что носитель ω0 может не быть компактом, если Ω неограни-
чена.
   Далее, так как из свойства равномерной C m -регулярности следует
свойство сегмента, то множество, состоящее из сужений на Ω функций
из C0∞ (Rn ), плотно в Wpm (Ω). Поэтому для доказательства теоремы тре-
буемое продолжение достаточно построить для сужения на Ω функции
из C0∞ (Rn ). Итак, пусть ϕ ∈ C0∞ (Rn ). Определим функции ϕj = ωj ϕ.
            PN
Ясно, что       ϕj совпадает с ϕ на Ω.
             j=0
    Для j > 1 и y ∈ B обозначим через ψj (y) = ϕj (Ψj (y)). По теоре-
ме 2.7
                    kψj km,p,B 6 K1 kϕj km,p,Uj .                (4.2)
Заметим, что ψj принадлежит C0∞ (Q), поскольку ϕj ∈ C0∞ (Vj ) по по-
строению. Продолжим ψj нулем вне Q. Пусть E ψj — функция, опреде-
ленная с помощью равенства (4.1). Из определения оператора E следует,
что E ψj (y 0 , −yn ) = 0, если ψj (y) = 0. Поэтому из неравенства (3.2) име-
ем

     kE ψj km,p,Rn = kE ψj km,p,Q 6 K2 kψj km,p,R+n = K2 kψj km,p,Q+ ,   (4.3)

здесь Q+ = {y ∈ Q | yn > 0}, K1 — постоянная, зависящая только от p.
Рассмотрим функцию θj (x) = E ψj (Φj (x)) (напомним, что Φj = Ψ−1j ).
                      m
Очевидно, что θj ∈ C0 (Vj ) и θj (x) = ϕj (x), если x ∈ Ω. Далее, по
теореме 2.7

 kθj km,p,Rn = kE ψj ◦ Φj km,p,Rn = kE ψj ◦ Φj km,p,Vj 6 K1 kE ψj km,p,Q .

Страницы