Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

78 Глава 3. Теоремы вложения
Из этого неравенства, теоремы 1.4 и неравенства (3.2) следует (3.5) при
mp < n и q = (n−1)p/(n−mp). Справедливость оценки (3.5) при других
значениях параметров устанавливается так же, как при доказательстве
теоремы 3.4. Теорема 3.5 доказана.
Следствие 3.4. Утверждение теоремы 3.5 останется справедли-
вым, если вместо свойства равномерной C
m
-регулярности предполо-
жить, что область Ω обладает свойством сегмента,
∂Ω =
N
[
j=1
Γ
j
, (3.8)
и для каждого j существуют область U
j
⊂ R
n
и m-гладкое взаимно
однозначное отображение Φ
j
, переводящее U
j
в ограниченную область
D ⊂ R
n
, а Γ
j
в D
0
⊂ (D ∩ R
n−1
).
Доказательство. При указанных предположениях имеем
Z
∂Ω
|Eu(x)|
q
dσ 6
N
X
j=1
Z
Γ
j
|Eu(x)|
q
dσ =
N
X
j=1
kEuk
q
0,q,Γ
j
.
Используя (3.6) и теорему 3.4, нетрудно получить, что
kEuk
0,q,Γ
j
6 K kEu ◦Ψ
j
k
0,q,D
0
6 K
1
kEu ◦ Ψ
j
k
m,p,D
.
По теореме 2.7
kEu ◦ Ψ
j
k
m,p,D
6 K
2
kEuk
m,p,U
j
6 K
2
kEuk
m,p,R
n
.
Из этих неравенств и (3.2) следует (3.5). Поскольку область Ω обладает
свойством сегмента, то (3.5) останется справедливым и для любой функ-
ции из W
m
p
(Ω).
§ 4. Об операторах продолжения для W
m
p
(Ω).
Совершенно очевидно, что оператор продолжения условиями (3.1),
(3.2) определяется неоднозначно. Существуют разные способы постро-
ения таких операторов. Об одном из них, названном в [6] "оператором
сильного m-продолжения", пойдет речь в этом параграфе.
78                                                  Глава 3. Теоремы вложения


Из этого неравенства, теоремы 1.4 и неравенства (3.2) следует (3.5) при
mp < n и q = (n−1)p/(n−mp). Справедливость оценки (3.5) при других
значениях параметров устанавливается так же, как при доказательстве
теоремы 3.4. Теорема 3.5 доказана.
   Следствие 3.4. Утверждение теоремы 3.5 останется справедли-
вым, если вместо свойства равномерной C m -регулярности предполо-
жить, что область Ω обладает свойством сегмента,
                                       N
                                       [
                                ∂Ω =         Γj ,                       (3.8)
                                       j=1

и для каждого j существуют область Uj ⊂ Rn и m-гладкое взаимно
однозначное отображение Φj , переводящее Uj в ограниченную область
D ⊂ Rn , а Γj в D0 ⊂ (D ∩ Rn−1 ).
     Доказательство. При указанных предположениях имеем
         Z                XN Z                N
                                              X
                   q
            |Eu(x)| dσ 6                q
                                 |Eu(x)| dσ =    kEukq0,q,Γj .
         ∂Ω                   j=1 Γ                  j=1
                                   j


Используя (3.6) и теорему 3.4, нетрудно получить, что

           kEuk0,q,Γj 6 K kEu ◦ Ψj k0,q,D0 6 K1 kEu ◦ Ψj km,p,D .

По теореме 2.7

              kEu ◦ Ψj km,p,D 6 K2 kEukm,p,Uj 6 K2 kEukm,p,Rn .

Из этих неравенств и (3.2) следует (3.5). Поскольку область Ω обладает
свойством сегмента, то (3.5) останется справедливым и для любой функ-
ции из Wpm (Ω).

          § 4. Об операторах продолжения для Wpm (Ω).

    Совершенно очевидно, что оператор продолжения условиями (3.1),
(3.2) определяется неоднозначно. Существуют разные способы постро-
ения таких операторов. Об одном из них, названном в [6] "оператором
сильного m-продолжения", пойдет речь в этом параграфе.

Страницы