Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Об операторах продолжения для W
m
p
(Ω). 79
Определение 3.6. Линейный оператор E, действующий из W
k
p
(Ω)
в W
k
p
(R
n
) называется оператором сильного m-продолжения, если E яв-
ляется оператором продолжения для всех 1 6 p < ∞ и 0 6 k 6 m.
Теорема 3.6. Пусть Ω — полупространство в R
n
или область
пространства R
n
, обладающая свойством равномерной C
m
-регулярнос-
ти, у которой ∂Ω — ограниченное множество. Тогда оператор сильного
m-продолжения существует.
Доказательство. Сначала построим оператор E для
Ω = R
n
+
≡ {x ∈ R
n
| x
n
> 0 }.
Для функций, определенных почти всюду в R
n
+
, положим
E u(x) =
u(x), если x
n
> 0,
m+1
P
j=1
λ
j
u(x
0
, −j x
n
), если x
n
6 0.
(4.1)
Здесь x
0
= (x
1
, . . . , x
n−1
). Коэффициенты λ
j
выбираются из условия
m+1
X
j=1
(−1)
k
λ
j
= 1.
Ясно, что E u ∈ C
m
(R
n
), если u ∈ C
m
(R
n
+
). Нетрудно показать, что
определенный в (4.1) оператор удовлетворяет (3.2) для любой функции
u ∈ C
m
(R
n
+
). По теореме 2.6 неравенство (3.2) будет иметь место и для
любой функции u ∈ W
m
p
(R
n
+
).
Теперь пусть Ω обладает свойством равномерной C
m
-регулярности
и ∂Ω — ограниченное множество. Тогда существует конечное покры-
тие {U
j
}
N
j=1
множества ∂Ω и m-гладкие взаимно однозначные функции
{Ψ
j
}
N
j=1
такие, что Ψ
j
(B) = U
j
(напомним, что B = {y ∈ R
n
| |y| < 1}).
Пусть
Q = {y ∈ R
n
| |y
0
| < 1/2, |y
n
| <
√
3/2 },
здесь y
0
= (y
1
, . . . , y
n−1
). Имеем
{y ∈ R
n
| |y| < 1/2 } ⊂ Q ⊂ B.
§ 4. Об операторах продолжения для Wpm (Ω).                              79


   Определение 3.6. Линейный оператор E, действующий из Wpk (Ω)
в Wpk (Rn ) называется оператором сильного m-продолжения, если E яв-
ляется оператором продолжения для всех 1 6 p < ∞ и 0 6 k 6 m.
   Теорема 3.6. Пусть Ω — полупространство в Rn или область
пространства Rn , обладающая свойством равномерной C m -регулярнос-
ти, у которой ∂Ω — ограниченное множество. Тогда оператор сильного
m-продолжения существует.
    Доказательство. Сначала построим оператор E для
                             n
                        Ω = R+ ≡ { x ∈ Rn | xn > 0 }.
                                               n
Для функций, определенных почти всюду в R+       , положим
                   
                   
                            u(x),           если xn > 0,
         E u(x) =     P
                      m+1                                             (4.1)
                   
                         λj u(x0 , −j xn ), если xn 6 0.
                              j=1

Здесь x0 = (x1 , . . . , xn−1 ). Коэффициенты λj выбираются из условия
                                 m+1
                                 X
                                          (−1)k λj = 1.
                                    j=1

Ясно, что E u ∈ C m (Rn ), если u ∈ C m (R+     n ). Нетрудно показать, что

определенный в (4.1) оператор удовлетворяет (3.2) для любой функции
u ∈ C m (R+ n ). По теореме 2.6 неравенство (3.2) будет иметь место и для

любой функции u ∈ Wpm (R+     n
                                ).
    Теперь пусть Ω обладает свойством равномерной C m -регулярности
и ∂Ω — ограниченное множество. Тогда существует конечное покры-
тие {Uj }Nj=1 множества ∂Ω и m-гладкие взаимно однозначные функции
{Ψj }N                                                         n
     j=1 такие, что Ψj (B) = Uj (напомним, что B = {y ∈ R | |y| < 1}).
Пусть                                                 √
                  Q = { y ∈ Rn | |y 0 | < 1/2, |yn | < 3/2 },
здесь y 0 = (y1 , . . . , yn−1 ). Имеем

                        { y ∈ Rn | |y| < 1/2 } ⊂ Q ⊂ B.

Страницы