Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Следы функций из W
m
p
(Ω) на ∂Ω. 77
Здесь y
0
= (y
1
, . . . , y
n−1
), dσ — поверхностная мера на ∂Ω, сомножитель
J
j
(y
0
) (коэффициент пропорциональности между dσ и dy
0
) определяется
следующим соотношением
J
j
(y
0
) =
½
n
X
k=1
µ
∂ (x
1
(y), . . . , x
k−1
(y), ˆx
k
, x
k+1
(y), . . . , x
n
(y))
∂ (y
1
, . . . , y
n−1
)
2
¾
1/2
¯
¯
¯
¯
y
n
=0
.
Заметим, что по определению свойства равномерной C
m
-регулярности
существует постоянная K
2
такая, что для каждого j якобианы преоб-
разований x = Ψ
j
(y) и y = Φ
j
(x) по модулю ограничены K
2
для всех
y ∈ B и x ∈ U
j
. Поэтому найдется постоянная K
3
, для которой выпол-
нено неравенство
|J
j
(y
0
)| 6 K
3
∀y
0
∈ B
0
. (3.6)
Если f является произвольной функцией, определенной на ∂Ω, а
{v
j
(x)} — разбиение единицы для ∂Ω, соответствующее {U
j
}, то
Z
∂Ω
f(x) dσ =
X
j
Z
U
j
T
∂Ω
f(x) v
j
(x) dσ .
Поэтому, учитывая, что 0 6 v
j
(x) 6 1, и оценки (3.6), легко убедиться в
справедливости следующих неравенств
Z
∂Ω
|Eu(x)|
q
dσ 6
X
j
Z
U
j
T
∂Ω
|Eu(x)|
q
dσ 6 K
3
X
j
kEu ◦Ψ
j
k
q
0,q,B
0
. (3.7)
Для оценки kEu ◦ Ψ
j
k
q
0,q,B
0
воспользуемся теоремой 3.4, в результате
будем иметь
Z
∂Ω
|Eu(x)|
q
dσ 6 K
3
X
j
µ
kEu ◦ Ψ
j
k
p
m,p,B
q/p
.
Используя теорему 2.7 и m-гладкость преобразования y = Φ
j
(x), нетруд-
но показать, что
Z
∂Ω
|Eu(x)|
q
dσ 6 K
4
X
j
µ
kEuk
p
m,p,U
j
q/p
6 K
4
µ
X
j
kEuk
p
m,p,U
j
q/p
.
§ 3. Следы функций из Wpm (Ω) на ∂Ω.                                                                   77


Здесь y 0 = (y1 , . . . , yn−1 ), dσ — поверхностная мера на ∂Ω, сомножитель
Jj (y 0 ) (коэффициент пропорциональности между dσ и dy 0 ) определяется
следующим соотношением
             ½Xn µ                                                                        ¶2 ¾1/2 ¯
                     ∂  (x 1 (y), . . . , x k−1 (y),   x̂ k , x k+1 (y), . . . , x n (y))         ¯
      0
Jj (y ) =                                                                                         ¯       .
                                            ∂ (y1 , . . . , yn−1 )                                ¯
                k=1                                                                                 yn =0

Заметим, что по определению свойства равномерной C m -регулярности
существует постоянная K2 такая, что для каждого j якобианы преоб-
разований x = Ψj (y) и y = Φj (x) по модулю ограничены K2 для всех
y ∈ B и x ∈ Uj . Поэтому найдется постоянная K3 , для которой выпол-
нено неравенство
                      |Jj (y 0 )| 6 K3 ∀ y 0 ∈ B0 .             (3.6)
    Если f является произвольной функцией, определенной на ∂Ω, а
{vj (x)} — разбиение единицы для ∂Ω, соответствующее {Uj }, то
                 Z            X Z
                   f (x) dσ =          f (x) vj (x) dσ .
                                                j        T
                        ∂Ω                          Uj       ∂Ω

Поэтому, учитывая, что 0 6 vj (x) 6 1, и оценки (3.6), легко убедиться в
справедливости следующих неравенств
 Z                X Z                          X
           q
    |Eu(x)| dσ 6           |Eu(x)|q dσ 6 K3        kEu ◦ Ψj kq0,q,B0 . (3.7)
                              j        T                               j
 ∂Ω                               Uj       ∂Ω

Для оценки kEu ◦ Ψj kq0,q,B0 воспользуемся теоремой 3.4, в результате
будем иметь
            Z                     Xµ             p
                                                       ¶q/p
              |Eu(x)|q dσ 6 K3         kEu ◦ Ψj km,p,B      .
                  ∂Ω                                 j


Используя теорему 2.7 и m-гладкость преобразования y = Φj (x), нетруд-
но показать, что
 Z                    Xµ        p
                                      ¶q/p      µX
                                                          p
                                                                ¶q/p
           q
    |Eu(x)| dσ 6 K4        kEukm,p,Uj      6 K4      kEukm,p,Uj      .
 ∂Ω                                    j                                     j

Страницы