Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Следы функций из W
m
p
(Ω) на ∂Ω. 75
6 K
5
½
kuk
(mp−ν)q
0
/mp
m,p,Ω
kuk
ν/m
m,p,Ω
¾
µ/(qλ)
. (2.45)
Заметим, что
q λ
µ
=
(n − ν)p
n − mp
,
поэтому из (2.45) следует оценка (2.41), а значит и (2.40) при n > mp,
q = kp/(n − mp).
Доказательство (2.40) для q ∈ [p, kp/(n − mp)] аналогично доказа-
тельству соответствующего результата в лемме 3.4. В случае произволь-
ной области Ω, а также при n = mp способ получения оценки (2.40)
содержится в доказательстве леммы 3.5. Теорема 3.4 доказана.
§ 3. Следы функций из W
m
p
(Ω) на ∂Ω.
В теории краевых задач для дифференциальных уравнений важна
информация о регулярности решения не только внутри области, но и на
границе. Источником такой информации могут быть результаты о непре-
рывном вложении пространства X, содержащего решение рассматрива-
емой задачи, в некое пространство функций, определенных на границе.
Если A — оператор, определяющий это вложение, то Au называют сле-
дом элемента u.
Заметим, что информацию о следах функций на ∂Ω можно найти и в
доказанных выше теоремах вложения. Например, если W
m
p
(Ω) → C(Ω),
то ясно, что следы функций из W
m
p
(Ω) принадлежат C(∂Ω).
В этом параграфе указываются достаточные условия, при которых
след на ∂Ω функции из W
m
p
(Ω) принадлежит пространству L
q
(∂Ω).
4
Рассматриваемый здесь подход восходит к работам Лионса (см. [8], [9]).
При его использовании предполагается возможность продолжении функ-
ций из W
m
p
(Ω) на R
n
с сохранением класса, то есть предполагается су-
ществование оператора E, действующего из W
m
p
(Ω) в W
m
p
(R
n
) и удо-
влетворяющего следующим условиям
Eu(x) = u(x) ∀x ∈ Ω, (3.1)
4
Использование пространств Соболева дробных порядков (см. гл.4) позволяет точнее описать
регулярность следов функций из W
m
p
(Ω).
§ 3. Следы функций из Wpm (Ω) на ∂Ω.                                                    75


                             ½                               ¾µ/(qλ)
                                    (mp−ν)q /mp      ν/m
                      6 K5       kukm,p,Ω 0       kukm,p,Ω             .           (2.45)

Заметим, что
                           qλ     (n − ν)p
                               =            ,
                            µ      n − mp
поэтому из (2.45) следует оценка (2.41), а значит и (2.40) при n > mp,
q = kp/(n − mp).
    Доказательство (2.40) для q ∈ [p, kp/(n − mp)] аналогично доказа-
тельству соответствующего результата в лемме 3.4. В случае произволь-
ной области Ω, а также при n = mp способ получения оценки (2.40)
содержится в доказательстве леммы 3.5. Теорема 3.4 доказана.

                § 3. Следы функций из Wpm (Ω) на ∂Ω.

    В теории краевых задач для дифференциальных уравнений важна
информация о регулярности решения не только внутри области, но и на
границе. Источником такой информации могут быть результаты о непре-
рывном вложении пространства X, содержащего решение рассматрива-
емой задачи, в некое пространство функций, определенных на границе.
Если A — оператор, определяющий это вложение, то Au называют сле-
дом элемента u.
    Заметим, что информацию о следах функций на ∂Ω можно найти и в
доказанных выше теоремах вложения. Например, если Wpm (Ω) → C(Ω),
то ясно, что следы функций из Wpm (Ω) принадлежат C(∂Ω).
    В этом параграфе указываются достаточные условия, при которых
след на ∂Ω функции из Wpm (Ω) принадлежит пространству Lq (∂Ω).4
Рассматриваемый здесь подход восходит к работам Лионса (см. [8], [9]).
При его использовании предполагается возможность продолжении функ-
ций из Wpm (Ω) на Rn с сохранением класса, то есть предполагается су-
ществование оператора E, действующего из Wpm (Ω) в Wpm (Rn ) и удо-
влетворяющего следующим условиям

                            Eu(x) = u(x)            ∀x ∈ Ω,                          (3.1)
  4
    Использование пространств Соболева дробных порядков (см. гл.4) позволяет точнее описать
регулярность следов функций из Wpm (Ω).

Страницы