Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Теоремы о непрерывном вложении W
m
p
(Ω) 73
Замечание 3.3. Утверждение леммы 3.7 справедливо и при p = 1, m = n, поскольку
в этом случае по лемме 3.5 пространство W
n
1
(Q) непрерывно вложено в L
∞
(Q). Поэтому
для почти всех x ∈ Q имеет место оценка
|u(x)| 6 K kuk
n,1,Q
,
которая совпадает с (2.35).
Доказательство теоремы 3.4 будет проводиться по той же схеме, что
и доказательство теоремы 3.2. Заметим, что утверждение теоремы 3.4
справедливо, если для любой функции u из C
∞
(Ω)∩W
m
p
(Ω) имеет место
оценка
kuk
0,q,Ω
k
6 K kuk
m,p,Ω
, K = K(m, k, q, p, C). (2.40)
Сначала получим (2.40) для ограниченной области Ω при n > mp,
q = kp/(n − mp). В этом случае имеет место равенство (1.1). Поэтому
для доказательства (2.40) достаточно получить оценку
kuk
0,q,Ω
k
j
6 K kuk
m,p,Ω
j
, K = K(m, k, q, p, C), (2.41)
где Ω
j
⊂ Ω — область, представимая в виде (1.2) и обладающая сильным
локальным свойством Липшица (а потому и сегмента).
Докажем (2.41). При этом, как и при доказательстве соответству-
ющего утверждения леммы 3.4, индекс j, мы будем опускать и будем
получать оценку (2.40) для ограниченной области Ω, которая являет-
ся объединением кубов с ребром 2 и гранями параллельными коорди-
натным плоскостям. При указанных предположениях, очевидно, оценку
(2.40) достаточно получить для функции u ∈ C
∞
(Ω).
Доказательство неравенства (2.40) проведем с помощью леммы 3.3
при ¯n = k,
¯
k = n −ν, где символами ¯n и
¯
k обозначены n и k из леммы
3.3, параметр ν при p > 1 полагается равным наибольшему целому
числу, меньшему mp, и ν = m, если p = 1. Заметим, что ν выбрано
таким образом, что n − ν 6 k. Действительно, при p > 1, очевидно,
имеем mp − p < ν < mp, поэтому из условия n − mp < k следует, что
n − ν 6 k. Если p = 1, то k > n − m = n −ν.
Далее пусть R
k
0
— k-мерная плоскость пространства R
n
, проходящая
через начало координат параллельно плоскости, содержащей Ω
k
. Про-
екцию Ω
k
на R
k
0
обозначим через Ω
k
0
. Пусть µ = C
n−ν
k
, E
i
(1 6 i 6 µ) —
§ 2. Теоремы о непрерывном вложении Wpm (Ω)                                      73


     Замечание 3.3. Утверждение леммы 3.7 справедливо и при p = 1, m = n, поскольку
в этом случае по лемме 3.5 пространство W1n (Q) непрерывно вложено в L∞ (Q). Поэтому
для почти всех x ∈ Q имеет место оценка

                                |u(x)| 6 K kukn,1,Q ,

которая совпадает с (2.35).

   Доказательство теоремы 3.4 будет проводиться по той же схеме, что
и доказательство теоремы 3.2. Заметим, что утверждение теоремы 3.4
справедливо, если для любой функции u из C ∞ (Ω)∩Wpm (Ω) имеет место
оценка
           kuk0,q,Ωk 6 K kukm,p,Ω ,  K = K(m, k, q, p, C).     (2.40)
   Сначала получим (2.40) для ограниченной области Ω при n > mp,
q = kp/(n − mp). В этом случае имеет место равенство (1.1). Поэтому
для доказательства (2.40) достаточно получить оценку

              kuk0,q,Ωkj 6 K kukm,p,Ωj ,       K = K(m, k, q, p, C),         (2.41)

где Ωj ⊂ Ω — область, представимая в виде (1.2) и обладающая сильным
локальным свойством Липшица (а потому и сегмента).
    Докажем (2.41). При этом, как и при доказательстве соответству-
ющего утверждения леммы 3.4, индекс j, мы будем опускать и будем
получать оценку (2.40) для ограниченной области Ω, которая являет-
ся объединением кубов с ребром 2 и гранями параллельными коорди-
натным плоскостям. При указанных предположениях, очевидно, оценку
(2.40) достаточно получить для функции u ∈ C ∞ (Ω).
    Доказательство неравенства (2.40) проведем с помощью леммы 3.3
при n̄ = k, k̄ = n − ν, где символами n̄ и k̄ обозначены n и k из леммы
3.3, параметр ν при p > 1 полагается равным наибольшему целому
числу, меньшему mp, и ν = m, если p = 1. Заметим, что ν выбрано
таким образом, что n − ν 6 k. Действительно, при p > 1, очевидно,
имеем mp − p < ν < mp, поэтому из условия n − mp < k следует, что
n − ν 6 k. Если p = 1, то k > n − m = n − ν.
    Далее пусть R0k — k-мерная плоскость пространства Rn , проходящая
через начало координат параллельно плоскости, содержащей Ωk . Про-
екцию Ωk на R0k обозначим через Ωk0 . Пусть µ = Ckn−ν , Ei (1 6 i 6 µ) —

Страницы