Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Теоремы о непрерывном вложении W
m
p
(Ω) 71
По лемме 3.3 для любой точки y ∈ Q
0
имеем
|u(x
0
)| − |u(y)| 6 |u(x
0
) − u(y)| 6 K
1
|x − y|
m−n/p
kuk
m,p,Q
0
(2.36)
Пусть U = kuk
m,p,Q
0
. Если U = 0, то для x
0
получить оценку (2.35)
легко, так как из (2.36) вытекает, что функция u на Q
0
— константа.
Поэтому
kuk
m,p,Q
0
= |u(x
0
)|(mes Q
0
)
1/p
, kuk
0,q,Q
0
= |u(x
0
)|(mes Q
0
)
1/q
,
и, следовательно,
|u(x
0
)| = (mes Q
0
)
µ
kuk
s
0,q,Q
0
kuk
1−s
m,p,Q
0
6 (mes Q
0
)
µ
kuk
s
0,q,Q
kuk
1−s
m,p,Q
,
здесь µ — константа, зависящая от l
0
.
Рассмотрим теперь случай, когда U 6= 0. Пусть
ρ = |x
0
− y|, ζ =
µ
|u(x
0
)|/(K
1
U)
p/(mp−n)
.
Тогда (2.36) можно записать в виде
|u(y)| > |u(x
0
)| − K
1
U ρ
m−n/p
. (2.37)
Если ζ 6 l
0
, то для всех точек y из множества
Q
0
(ζ) =
½
y ∈ Q
0
¯
¯
¯
¯
|x
0
− y| 6 ζ
¾
правая часть (2.37) неотрицательна. Неравенство (2.37) возведем в сте-
пень q и проинтегрируем по Q
0
(ζ). В результате будем иметь
Z
Q
0
|u(y)|
q
dy > K
2
|u(x
0
)|
q
Z
Q
0
µ
1 − (ρ/ζ)
m−n/p
q
dy . (2.38)
Переходя в правой части (2.38) к сферическим координатам с началом
в точке x
0
, а затем — к новой переменной σ = (ρ/ζ), нетрудно получить
следующие соотношения
K
2
|u(x
0
)|
q
Z
Q
0
µ
1 − (ρ/ζ)
m−n/p
q
dy =
§ 2. Теоремы о непрерывном вложении Wpm (Ω)                                      71


   По лемме 3.3 для любой точки y ∈ Q0 имеем

   |u(x0 )| − |u(y)| 6 |u(x0 ) − u(y)| 6 K1 |x − y|m−n/p kukm,p,Q0          (2.36)

Пусть U = kukm,p,Q0 . Если U = 0, то для x0 получить оценку (2.35)
легко, так как из (2.36) вытекает, что функция u на Q0 — константа.
Поэтому

    kukm,p,Q0 = |u(x0 )| (mes Q0 )1/p ,    kuk0,q,Q0 = |u(x0 )| (mes Q0 )1/q ,

и, следовательно,

   |u(x0 )| = (mes Q0 )µ kuks0,q,Q0 kuk1−s            0 µ   s        1−s
                                       m,p,Q0 6 (mes Q ) kuk0,q,Q kukm,p,Q ,

здесь µ — константа, зависящая от l0 .
    Рассмотрим теперь случай, когда U 6= 0. Пусть
                                µ              ¶p/(mp−n)
                  0                    0
            ρ = |x − y|,    ζ = |u(x )|/(K1 U )          .

Тогда (2.36) можно записать в виде

                       |u(y)| > |u(x0 )| − K1 U ρm−n/p .                    (2.37)

   Если ζ 6 l0 , то для всех точек y из множества
                             ½       ¯              ¾
                                     ¯
                    Q0 (ζ) = y ∈ Q0 ¯¯ |x0 − y| 6 ζ

правая часть (2.37) неотрицательна. Неравенство (2.37) возведем в сте-
пень q и проинтегрируем по Q0 (ζ). В результате будем иметь
       Z                            Z µ               ¶q
          |u(y)|q dy > K2 |u(x0 )|q     1 − (ρ/ζ)m−n/p dy .     (2.38)
       Q0                             Q0

Переходя в правой части (2.38) к сферическим координатам с началом
в точке x0 , а затем — к новой переменной σ = (ρ/ζ), нетрудно получить
следующие соотношения
                                Z µ              ¶q
                   K2 |u(x0 )|q    1 − (ρ/ζ)m−n/p dy =
                               Q0

Страницы