Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

72 Глава 3. Теоремы вложения
= K
2
|u(x
0
)|
q
ζ
Z
0
µ
1 − (ρ/ζ)
m−n/p
q
ρ
n−1
dρ =
= K
2
ζ
n
|u(x
0
)|
q
1
Z
0
µ
1 − σ
m−n/p
q
dσ =
= K
3
|u(x
0
)|
q+np/(mp−n)
U
−np/(mp−n)
.
Подставляя полученное выражение в (2.38), легко получить оценку (2.35)
для x
0
и в этом случае.
И, наконец, если ζ > l
0
, то по аналогии с Q
0
(ζ) введем множество
Q
0
(l
0
). Тогда для всех y ∈ Q
0
(l
0
) из (2.37) имеем
|u(y)| > |u(x
0
)|
µ
1 − (ρ/ζ)
m−n/p
> |u(x
0
)|
µ
1 − (ρ/l
0
)
m−n/p
> 0.
Полученное неравенство возведем в степень t > 0 и проинтегрируем по
Q
0
(l
0
). После несложных преобразований будем иметь
Z
Q
0
|u(y)|
t
dy > K
2
|u(x
0
)|
t
l
0
Z
0
µ
1 − (ρ/l
0
)
m−n/p
t
ρ
n−1
dρ =
= K
4
|u(x
0
)|
t
. (2.39)
Положим
t = q
mp − n
mp
+ p
n
mp
.
Ясно, что числа mp/(mp − n) и mp/(n) взаимно сопряжены. Поэтому
Z
Q
0
|u(y)|
t
dy =
Z
Q
0
µ
|u(y)|
q
(mp−n)/(mp)
µ
|u(y)|
p
n/(mp)
dy 6
6 kuk
q(mp−n)/(mp)
0,q,Q
0
kuk
n/m
0,p,Q
0
.
Используя эту оценку, из (2.39) получим
|u(x
0
)|
t
6 K
−1
4
kuk
q(mp−n)/(mp)
0,q,Q
0
kuk
n/m
0,p,Q
0
.
Откуда, очевидно, следует утверждение леммы и в этом случае. Лемма
доказана.
72                                                              Глава 3. Теоремы вложения


                              Zζ µ              ¶q
               = K2 |u(x0 )|q     1 − (ρ/ζ)m−n/p ρn−1 dρ =
                               0
                                       Z1 µ                    ¶q
                  = K2 ζ n |u(x0 )|q            1 − σ m−n/p         dσ =
                                       0
                                   0 q+np/(mp−n)
                    = K3 |u(x )|                     U −np/(mp−n) .
Подставляя полученное выражение в (2.38), легко получить оценку (2.35)
для x0 и в этом случае.
    И, наконец, если ζ > l0 , то по аналогии с Q0 (ζ) введем множество
Q0 (l0 ). Тогда для всех y ∈ Q0 (l0 ) из (2.37) имеем
                    µ                  ¶            µ               ¶
                 0             m−n/p             0          0 m−n/p
  |u(y)| > |u(x )| 1 − (ρ/ζ)              > |u(x )| 1 − (ρ/l )        > 0.

Полученное неравенство возведем в степень t > 0 и проинтегрируем по
Q0 (l0 ). После несложных преобразований будем иметь
       Z                              Zl0 µ                ¶t
            |u(y)|t dy > K2 |u(x0 )|t      1 − (ρ/l0 )m−n/p ρn−1 dρ =
       Q0                                  0

                                   = K4 |u(x0 )|t .                                (2.39)
Положим
                             mp − n           n
                             t = q      +p       .
                                  mp         mp
Ясно, что числа mp/(mp − n) и mp/(n) взаимно сопряжены. Поэтому
      Z              Z µ          ¶(mp−n)/(mp) µ          ¶n/(mp)
               t                q                       p
         |u(y)| dy =     |u(y)|                  |u(y)|           dy 6
      Q0                Q0

                                   q(mp−n)/(mp)         n/m
                         6 kuk0,q,Q0                kuk0,p,Q0 .
Используя эту оценку, из (2.39) получим
                                               q(mp−n)/(mp)         n/m
                  |u(x0 )|t 6 K4−1 kuk0,q,Q0                  kuk0,p,Q0 .

Откуда, очевидно, следует утверждение леммы и в этом случае. Лемма
доказана.

Страницы