Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

74 Глава 3. Теоремы вложения
подпространства R
k
0
размерности n−ν, а Ω
i
— проекция Ω
k
0
(а, следова-
тельно, и Ω
k
) на E
i
. (Заметим, что {Ω
J(
¯
k)
} ≡ {Ω
i
}
µ
i=1
.) На Ω
i
определим
функции
F
i
(x
i
) = sup
y∈Ω
i,x
i
|u(y)|
q/µ
,
здесь Ω
i,x
i
— пересечение Ω с ν-мерной плоскостью, содержащей x
i
и
ортогональной E
i
.
Докажем, что F
i
∈ L
λ
(Ω
i
), где λ = C
n−ν−1
k−1
. Имеем
kF
i
k
λ
0,λ,Ω
i
=
Z
Ω
i
|F
i
(x
i
)|
λ
dx
i
=
Z
Ω
i
sup
y∈Ω
i,x
i
|u(y)|
qλ/µ
dx
i
. (2.42)
Воспользовавшись леммой 3.7 при q = q
0
≡ np/(n − mp), для y ∈ Ω
i,x
i
будем иметь
|u(y)| 6 K
1
kuk
s
0,q
0
,Ω
i,x
i
kuk
1−s
m,p,Ω
i,x
i
, (2.43)
где s = (mp − ν)q
0
/[νp + (mp − ν)q
0
]. Правую часть (2.42) оценим с
помощью неравенства (2.43). В результате получим
kF
i
k
λ
0,λ,Ω
i
6 K
2
Z
Ω
i
kuk
(mp−ν)q
0
/mp
0,q
0
,Ω
i,x
i
kuk
ν/m
m,p,Ω
i,x
i
dx
i
6
6 K
2
kuk
(mp−ν)q
0
/mp
0,q
0
,Ω
kuk
ν/m
m,p,Ω
. (2.44)
Далее заметим, что
kuk
q
0,q,Ω
k
6
Z
Ω
k
0
µ
Y
i=1
sup
y∈Ω
i,x
i
|u(y)|
q/µ
dx
k
.
По лемме 3.3
Z
Ω
k
0
µ
Y
i=1
sup
y∈Ω
i,x
i
|u(y)|
q/µ
dx
k
6
µ
Y
i=1
½
Z
Ω
i
sup
y∈Ω
i,x
i
|u(y)|
qλ/µ
dx
i
¾
1/λ
.
Из последних двух неравенств и (2.44) получим
kuk
0,q,Ω
k
6 K
4
½
kuk
(mp−ν)q
0
/mp
0,q
0
,Ω
kuk
ν/m
m,p,Ω
¾
µ/(qλ)
6
74                                                                             Глава 3. Теоремы вложения


подпространства R0k размерности n−ν, а Ωi — проекция Ωk0 (а, следова-
тельно, и Ωk ) на Ei . (Заметим, что {ΩJ(k̄) } ≡ {Ωi }µi=1 .) На Ωi определим
функции
                          Fi (xi ) = sup |u(y)|q/µ ,
                                                    y∈Ωi,xi

здесь Ωi,xi — пересечение Ω с ν-мерной плоскостью, содержащей xi и
ортогональной Ei .
                                           n−ν−1
    Докажем, что Fi ∈ Lλ (Ωi ), где λ = Ck−1     . Имеем
                     Z                   Z
      kFi kλ0,λ,Ωi =   |Fi (xi )|λ dxi =   sup |u(y)|qλ/µ dxi . (2.42)
                                                                 y∈Ωi,xi
                          Ωi                               Ωi

Воспользовавшись леммой 3.7 при q = q0 ≡ np/(n − mp), для y ∈ Ωi,xi
будем иметь
                 |u(y)| 6 K1 kuks0,q0 ,Ωi,xi kuk1−s
                                                m,p,Ω i ,    (2.43)
                                                                                i,x

где s = (mp − ν)q0 /[νp + (mp − ν)q0 ]. Правую часть (2.42) оценим с
помощью неравенства (2.43). В результате получим
                          Z
              λ                 (mp−ν)q /mp    ν/m
         kFi k0,λ,Ωi 6 K2   kuk0,q0 ,Ω i0   kukm,p,Ω i dxi 6
                                                           i,x                        i,x

                                       Ωi

                                                  (mp−ν)q0 /mp           ν/m
                               6 K2 kuk0,q0 ,Ω                       kukm,p,Ω .                                    (2.44)
     Далее заметим, что
                                            Z Y
                                              µ
                      kukq0,q,Ωk    6                   sup |u(y)|q/µ dxk .
                                                   i=1 y∈Ωi,xi
                                            Ωk0

По лемме 3.3
     Z Y µ                                           µ ½Z
                                                     Y                                                  ¾1/λ
                                 q/µ        k                                               qλ/µ    i
                 sup |u(y)|            dx 6                           sup |u(y)|                   dx          .
            i=1 y∈Ωi,xi                              i=1        Ωi
                                                                     y∈Ωi,xi
      Ωk0

Из последних двух неравенств и (2.44) получим
                         ½                          ¾µ/(qλ)
                              (mp−ν)q0 /mp    ν/m
           kuk0,q,Ωk 6 K4 kuk0,q0 ,Ω       kukm,p,Ω         6

Страницы