Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

76 Глава 3. Теоремы вложения
kEuk
m,p,R
n
6 K kuk
m,p,Ω
. (3.2)
Такой оператор называется оператором продолжения. Возможность по-
строения оператора продолжения в основном зависит от свойств обла-
сти Ω. В параграфе 4 будут приведены примеры построения операторов
продолжения.
Теорема 3.5. Пусть Ω — произвольная область пространства R
n
,
обладающая свойством равномерной C
m
-регулярности, и существует
оператор продолжения E, действующий из W
m
p
(Ω) в W
m
p
(R
n
). Тогда
имеет место вложение
W
m
p
(Ω) → L
q
(∂Ω), (3.3)
где
p 6 q 6 (n −1)p/(n − mp), если n > mp;
p 6 q < ∞, если n = mp.
Доказательство. Ясно, что вложение (3.3) будет иметь место, если
X ≡
½
v ∈ W
m
p
(R
n
)
¯
¯
¯
¯
v = Eu, u ∈ W
m
p
(Ω)
¾
→ L
q
(∂Ω). (3.4)
Поскольку E — ограниченный оператор, и C
∞
0
(R
n
) по теореме 2.6 плотно
в W
m
p
(Ω), то для доказательства (3.4) достаточно получить следующую
оценку
kEuk
0,q,∂Ω
6 K
1
kuk
m,p,Ω
∀u ∈ C
∞
0
(R
n
). (3.5)
Сначала справедливость неравенства (3.5) установим при mp < n и
q = (n − 1)p/(n − mp).
По определению свойства равномерной C
m
-регулярности существу-
ют локально конечное открытое покрытие {U
j
} множества ∂Ω и для
каждого U
j
взаимно однозначная m-гладкая функция Ψ
j
, отображаю-
щая B = {y ∈ R
n
| |y| < 1} на множество U
j
, так, что
U
j
\
∂Ω = Ψ
j
(B
0
), B
0
= {y ∈ B | y
n
= 0}.
Если носитель функции f принадлежит {U
j
}, то, производя замену пе-
ременных x = Ψ
j
(y), нетрудно получить, что
Z
∂Ω
f(x) dσ =
Z
U
j
T
∂Ω
f(x) dσ =
Z
B
0
f
µ
Ψ
j
(y
0
, 0)
J
j
(y
0
) dy
0
.
76                                                         Глава 3. Теоремы вложения


                           kEukm,p,Rn 6 K kukm,p,Ω .                           (3.2)
Такой оператор называется оператором продолжения. Возможность по-
строения оператора продолжения в основном зависит от свойств обла-
сти Ω. В параграфе 4 будут приведены примеры построения операторов
продолжения.
   Теорема 3.5. Пусть Ω — произвольная область пространства Rn ,
обладающая свойством равномерной C m -регулярности, и существует
оператор продолжения E, действующий из Wpm (Ω) в Wpm (Rn ). Тогда
имеет место вложение
                                    Wpm (Ω) → Lq (∂Ω),                         (3.3)
где
               p 6 q 6 (n − 1)p/(n − mp),           если     n > mp;
                      p 6 q < ∞,                    если     n = mp.

      Доказательство. Ясно, что вложение (3.3) будет иметь место, если
             ½             ¯                    ¾
                           ¯
        X ≡ v ∈ Wpm (Rn ) ¯¯ v = Eu, u ∈ Wpm (Ω) → Lq (∂Ω).         (3.4)

Поскольку E — ограниченный оператор, и C0∞ (Rn ) по теореме 2.6 плотно
в Wpm (Ω), то для доказательства (3.4) достаточно получить следующую
оценку
               kEuk0,q,∂Ω 6 K1 kukm,p,Ω    ∀ u ∈ C0∞ (Rn ).       (3.5)
   Сначала справедливость неравенства (3.5) установим при mp < n и
q = (n − 1)p/(n − mp).
   По определению свойства равномерной C m -регулярности существу-
ют локально конечное открытое покрытие {Uj } множества ∂Ω и для
каждого Uj взаимно однозначная m-гладкая функция Ψj , отображаю-
щая B = {y ∈ Rn | |y| < 1} на множество Uj , так, что
               \
            Uj    ∂Ω = Ψj (B0 ),   B0 = {y ∈ B | yn = 0}.
Если носитель функции f принадлежит {Uj }, то, производя замену пе-
ременных x = Ψj (y), нетрудно получить, что
       Z              Z              Z µ              ¶
         f (x) dσ =       f (x) dσ =    f Ψj (y 0 , 0) Jj (y 0 ) dy 0 .
                           T
         ∂Ω           Uj       ∂Ω              B0

Страницы