Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

70 Глава 3. Теоремы вложения
6 K
6
|x − y|
λ
δ
−λ
0
kuk
1,p,Ω
.
Теорема доказана.
Теорема 3.4. Пусть Ω — произвольная область пространства
R
n
, обладающая свойством конуса, Ω
k
— пересечение Ω с некоторой
k-мерной плоскостью (предполагается, что 1 6 k 6 n, Ω
n
≡ Ω). Если
n > mp, n − mp < k 6 n, то
W
m+j
p
(Ω) → W
j
q
(Ω
k
). (2.34)
Здесь
p 6 q 6 kp/(n − mp), если n > mp ,
p 6 q < ∞, если n = mp ,
1 6 q 6 k/(n − m), если p = 1, n > m, n −m 6 k 6 n.
Постоянные вложений зависят от m, n, p, q и конуса C, определяю-
щего свойство конуса для Ω.
При доказательстве теоремы 3.4 нам понадобится следующая
Лемма 3.7. Пусть Q — n-мерный гиперкуб, ребра которого па-
раллельны координатным осям и имеют длину l. Если p > 1, q > 1,
mp − p < n < mp, то найдется постоянная K = K(p, q, m, n, l) такая,
что для почти всех x ∈ Q справедливо неравенство
|u(x)| 6 K kuk
s
0,q,Q
kuk
1−s
m,p,Q
∀u ∈ W
m
p
(Q) , (2.35)
где s = (mp − n)q/[np + (mp − n)q].
Доказательство. По теореме 3.3 при mp > n > (m − 1)p
W
m
p
(Q) → C
0
(Q).
и, следовательно,
W
m
p
(Q) → L
q
(Q) ∀q > 1.
Поэтому (2.35) достаточно установить для u ∈ C
∞
(Q).
Пусть x
0
произвольная точка из Q. Очевидно, существует куб, при-
надлежащий Q, одной из вершин которого является точка x
0
, ребра па-
раллельны координатным осям, а длина ребра равна l/2. Такой куб,
обозначим через Q
0
, длину его ребра — l
0
.
70                                                  Глава 3. Теоремы вложения


                        6 K6 |x − y|λ δ0−λ kuk1,p,Ω .
Теорема доказана.
    Теорема 3.4. Пусть Ω — произвольная область пространства
Rn , обладающая свойством конуса, Ωk — пересечение Ω с некоторой
k-мерной плоскостью (предполагается, что 1 6 k 6 n, Ωn ≡ Ω). Если
n > mp, n − mp < k 6 n, то

                          Wpm+j (Ω) → Wqj (Ωk ).                       (2.34)

Здесь
      p 6 q 6 kp/(n − mp),     если              n > mp ,
           p 6 q < ∞,          если              n = mp ,
       1 6 q 6 k/(n − m),      если    p = 1, n > m, n − m 6 k 6 n.
Постоянные вложений зависят от m, n, p, q и конуса C, определяю-
щего свойство конуса для Ω.
     При доказательстве теоремы 3.4 нам понадобится следующая
   Лемма 3.7. Пусть Q — n-мерный гиперкуб, ребра которого па-
раллельны координатным осям и имеют длину l. Если p > 1, q > 1,
mp − p < n < mp, то найдется постоянная K = K(p, q, m, n, l) такая,
что для почти всех x ∈ Q справедливо неравенство

             |u(x)| 6 K kuks0,q,Q kuk1−s
                                     m,p,Q      ∀ u ∈ Wpm (Q) ,        (2.35)

где s = (mp − n)q/[np + (mp − n)q].
     Доказательство. По теореме 3.3 при mp > n > (m − 1)p

                             Wpm (Q) → C 0 (Q).

и, следовательно,
                      Wpm (Q) → Lq (Q)        ∀q > 1.
Поэтому (2.35) достаточно установить для u ∈ C ∞ (Q).
   Пусть x0 произвольная точка из Q. Очевидно, существует куб, при-
надлежащий Q, одной из вершин которого является точка x0 , ребра па-
раллельны координатным осям, а длина ребра равна l/2. Такой куб,
обозначим через Q0 , длину его ребра — l0 .

Страницы