Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

68 Глава 3. Теоремы вложения
Пусть 0 < σ < 1 и x, y — произвольные точки из Ω такие, что
|x − y| = σ. Тогда существует куб Ω
σ
такой, что x, y ∈ Ω
σ
⊂ Ω. Если
z ∈ Ω
σ
, то
u(x) = u(z) −
1
Z
0
d
dt
u(x + t(z − x)) dt,
поэтому
|u(x) − u(z)| 6
√
n σ
1
Z
0
|grad u(x + t(z −x))|dt.
Воспользовавшись этой оценкой, запишем следующую цепочку очевид-
ных неравенств
¯
¯
¯
¯
u(x) −
1
σ
n
Z
Ω
σ
u(z) dz
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
1
σ
n
Z
Ω
σ
(u(x) − u(z)) dz
¯
¯
¯
¯
6
6
√
n
σ
n−1
Z
Ω
σ
1
Z
0
|grad u(x + (z −x))|dt dz.
В последнем интеграле поменяем порядок интегрирования и воспользу-
емся неравенством Гельдера. В результате получим
¯
¯
¯
¯
u(x) −
1
σ
n
Z
Ω
σ
u(z) dz
¯
¯
¯
¯
6
√
n
σ
n−1
1
Z
0
t
−n
Z
Ω
tσ
|grad u(z)|dz dt 6
6
√
n
σ
n−1
kgrad uk
0,p,Ω
1
Z
0
t
−n
(mes Ω
tσ
)
1/p
0
dt 6
6 K
4
σ
1−n/p
kgrad uk
0,p,Ω
,
здесь K
4
= K
4
(n, p) =
√
n
1
Z
0
t
−n/p
dt < ∞. Аналогичное неравенство
будет справедливо и для y, поэтому
|u(x) − u(y)| 6 |u(x) − u(z)| + |u(y) − u(z)| 6
68                                                                    Глава 3. Теоремы вложения


    Пусть 0 < σ < 1 и x, y — произвольные точки из Ω такие, что
|x − y| = σ. Тогда существует куб Ωσ такой, что x, y ∈ Ωσ ⊂ Ω. Если
 z ∈ Ωσ , то
                               Z1
                                  d
                u(x) = u(z) −        u(x + t(z − x)) dt,
                                  dt
                                             0
поэтому
                                                 Z1
                                   √
          |u(x) − u(z)| 6                  nσ         |grad u(x + t(z − x))| dt.
                                                 0

Воспользовавшись этой оценкой, запишем следующую цепочку очевид-
ных неравенств
        ¯          Z          ¯   ¯    Z                  ¯
        ¯       1             ¯   ¯ 1                     ¯
        ¯u(x) −       u(z) dz ¯ = ¯      (u(x) − u(z)) dz ¯ 6
        ¯       σn            ¯   ¯ σn                    ¯
                         Ωσ                                Ωσ

                     √         Z Z1
                         n
                6                          |grad u(x + (z − x))| dt dz.
                     σ n−1
                              Ωσ   0

В последнем интеграле поменяем порядок интегрирования и воспользу-
емся неравенством Гельдера. В результате получим
     ¯          Z          ¯   √ Z1     Z
     ¯       1             ¯    n
     ¯u(x) −      u(z) dz ¯¯ 6 n−1  t−n
                                          |grad u(z)| dz dt 6
     ¯       σn               σ
                Ωσ                                     0        Ωtσ

                √                                Z1
                     n                                                    0
            6       n−1
                        kgrad uk0,p,Ω                 t−n (mes Ωtσ )1/p dt 6
                σ
                                                 0

                              6 K4 σ 1−n/p kgrad uk0,p,Ω ,
                                       Z1
                               √
здесь K4 = K4 (n, p) =             n        t−n/p dt < ∞. Аналогичное неравенство
                                       0
будет справедливо и для y, поэтому

           |u(x) − u(y)| 6 |u(x) − u(z)| + |u(y) − u(z)| 6

Страницы