Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

66 Глава 3. Теоремы вложения
6 K kϕk
m,p,C
x
∗
6 K kϕk
m,p,Ω
.
Лемма доказана.
Следствие 3.3. Если mp > n, то вложение W
m
p
(Ω) → L
q
(Ω)
имеет место для p 6 q 6 ∞, при этом постоянная вложения зависит
только от m, n, p, q и конуса C.
Доказательство. В лемме 3.6 установлено, что
kuk
0,∞,Ω
= ess sup
x∈Ω
|u(x)| 6 K kuk
m,p,Ω
∀u ∈ W
m
p
(Ω) .
Если p 6 q < ∞, то имеем
kuk
q
0,q,Ω
=
Z
Ω
|u(x)|
p
|u(x)|
q−p
dx 6
6 K
q−p
kuk
q−p
m,p,Ω
kuk
p
0,p,Ω
6 K
q−p
kuk
q
m,p,Ω
.
Что и требовалось доказать.
Заметим, что из лемм 3.5, 3.6 следует утверждение теоремы 3.2.
Теорема 3.3. Пусть Ω — произвольная область R
n
, обладающая
сильным локальным свойством Липшица, mp > n > (m − 1)p. Тогда
имеет место вложение
W
m+j
p
(Ω) → C
j,λ
(Ω) ∀j > 0, (2.30)
здесь
0 < λ 6 m −n/p, если n > (m − 1)p;
0 < λ < 1, если n = (m − 1)p;
0 < λ 6 1, если p = 1, n = m − 1.
В частности, W
m+j
p
(Ω) → C
j
(Ω).
Постоянные вложений зависят от m, n, p и параметров δ и M,
возникающих при описании сильного локального свойства Липшица для
области Ω.
Доказательство. Ясно, что утверждение теоремы достаточно прове-
рить при j = 0. Пусть u ∈ W
m
p
(Ω). Так как из сильного локального
66                                                     Глава 3. Теоремы вложения


                      6 K kϕkm,p,Cx∗ 6 K kϕkm,p,Ω .
Лемма доказана.
   Следствие 3.3. Если mp > n, то вложение Wpm (Ω) → Lq (Ω)
имеет место для p 6 q 6 ∞, при этом постоянная вложения зависит
только от m, n, p, q и конуса C.
     Доказательство. В лемме 3.6 установлено, что

        kuk0,∞,Ω = ess sup |u(x)| 6 K kukm,p,Ω            ∀u ∈ Wpm (Ω) .
                       x∈Ω

Если p 6 q < ∞, то имеем
                                   Z
                   kukq0,q,Ω   =       |u(x)|p |u(x)|q−p dx 6
                                   Ω

                6 K q−p kukq−p      p
                           m,p,Ω kuk0,p,Ω 6 K
                                              q−p
                                                  kukqm,p,Ω .
Что и требовалось доказать.
   Заметим, что из лемм 3.5, 3.6 следует утверждение теоремы 3.2.
   Теорема 3.3. Пусть Ω — произвольная область Rn , обладающая
сильным локальным свойством Липшица, mp > n > (m − 1)p. Тогда
имеет место вложение

                     Wpm+j (Ω) → C j,λ (Ω)         ∀j > 0,                 (2.30)

здесь
              0 < λ 6 m − n/p,          если     n > (m − 1)p;
                 0 < λ < 1,             если     n = (m − 1)p;
                 0 < λ 6 1,             если   p = 1, n = m − 1.
В частности, Wpm+j (Ω) → C j (Ω).
   Постоянные вложений зависят от m, n, p и параметров δ и M ,
возникающих при описании сильного локального свойства Липшица для
области Ω.
   Доказательство. Ясно, что утверждение теоремы достаточно прове-
рить при j = 0. Пусть u ∈ Wpm (Ω). Так как из сильного локального

Страницы