Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Теоремы о непрерывном вложении W
m
p
(Ω) 65
h
Z
0
Z
A
r
n−1
ω(θ) |ϕ(r, θ)|dr dθ =
Z
C
x
∗
|ϕ(x)|dx ,
нетрудно показать, что
(mes C
x
∗
) |ϕ(x
∗
)| 6
Z
C
x
∗
|ϕ(x)|dx +
h
n
n
Z
C
x
∗
|grad ϕ(x)||x − x
∗
|
1−n
dx 6
6 (mes C
x
∗
)
1/p
0
kϕk
0,p,C
x
∗
+
h
n
n
kgrad ϕk
0,p,C
x
∗
µ
Z
C
x
∗
|x −x
∗
|
−(n−1)p
0
dx
.
(При получении последней оценки использовалось неравенство Гельдера
с показателем p.) Поскольку p > n, то
(n −1)(1 − p
0
) = −(n −1) /(p − 1) > −1 ,
следовательно,
Z
C
x
∗
|x −x
∗
|
−(n−1)p
0
dx =
Z
A
ω(θ) dθ
h
Z
0
r
(n−1)(1−p
0
)
dr < ∞.
Таким образом,
|ϕ(x
∗
)| 6 K kϕk
1,p,C
x
∗
6 K kϕk
1,p,Ω
,
где K = K(m, p, n, C), и оценка (2.27) при m = 1 доказана.
Если m > 1, но p > n, то из предыдущих рассуждений имеем
|ϕ(x
∗
)| 6 K kϕk
1,p,C
x
∗
6 K kϕk
m,p,C
x
∗
6 K kϕk
m,p,Ω
.
Пусть теперь p 6 n < mp. Выберем j из условия jp 6 n < (j + 1)p.
Если jp < n, то положим r = np/(n − jp). Заметим, во-первых, что по
лемме 3.5
W
j
p
(Ω) → L
r
(Ω) , (2.29)
и, во-вторых, j выбран таким образом, что (n −jp) < 1, следовательно,
r > n . Если jp = n, то по лемме 3.5 вложение (2.29) справедливо при лю-
бых p 6 r < ∞, поэтому выберем любое r > n. Используя предыдущие
рассуждения и (2.29), запишем следующую цепочку неравенств
|ϕ(x
∗
)| 6 K
1
kϕk
1,r,C
x
∗
6 K
1
kϕk
m−j,r,C
x
∗
6
§ 2. Теоремы о непрерывном вложении Wpm (Ω)                                                               65


                  Zh Z                                                 Z
                               rn−1 ω(θ) |ϕ(r, θ)| dr dθ =                     |ϕ(x)| dx ,
                  0       A                                           Cx ∗
нетрудно показать, что
                      Z                Z
                ∗                   hn
 (mes Cx∗ ) |ϕ(x )| 6   |ϕ(x)| dx +      |grad ϕ(x)| |x − x∗ |1−n dx 6
                                    n
                                 Cx ∗                     Cx ∗
                                                                        µZ                               ¶
                      0                       hn                                                   0
 6 (mes Cx∗ )1/p kϕk0,p,Cx∗                 +    kgrad ϕk0,p,Cx∗                    |x − x∗ |−(n−1)p   dx .
                                              n
                                                                             Cx ∗

(При получении последней оценки использовалось неравенство Гельдера
с показателем p.) Поскольку p > n, то
                      (n − 1)(1 − p0 ) = −(n − 1)/(p − 1) > −1 ,
следовательно,
        Z                                        Z               Zh
                                        0                                              0
               |x − x∗ |−(n−1)p dx =                 ω(θ) dθ           r(n−1)(1−p ) dr < ∞ .
       Cx ∗                                      A               0

Таким образом,
                              |ϕ(x∗ )| 6 K kϕk1,p,Cx∗ 6 K kϕk1,p,Ω ,
где K = K(m, p, n, C), и оценка (2.27) при m = 1 доказана.
    Если m > 1, но p > n, то из предыдущих рассуждений имеем
              |ϕ(x∗ )| 6 K kϕk1,p,Cx∗ 6 K kϕkm,p,Cx∗ 6 K kϕkm,p,Ω .
   Пусть теперь p 6 n < mp. Выберем j из условия jp 6 n < (j + 1)p.
Если jp < n, то положим r = np/(n − jp). Заметим, во-первых, что по
лемме 3.5
                         Wpj (Ω) → Lr (Ω) ,                   (2.29)
и, во-вторых, j выбран таким образом, что (n − jp) < 1, следовательно,
r > n. Если jp = n, то по лемме 3.5 вложение (2.29) справедливо при лю-
бых p 6 r < ∞, поэтому выберем любое r > n. Используя предыдущие
рассуждения и (2.29), запишем следующую цепочку неравенств
                  |ϕ(x∗ )| 6 K1 kϕk1,r,Cx∗ 6 K1 kϕkm−j,r,Cx∗ 6

Страницы