Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Теоремы о непрерывном вложении W
m
p
(Ω) 63
Таким образом, W
m
p
(Ω) → L
q
(Ω) с постоянной вложения KR
1/p
.
Если mp = n, то согласно следствию 3.2 неравенство (2.26) спра-
ведливо для любого p 6 q < ∞, причем по свойству 5) постоянная в
этом неравенстве может быть выбрана не зависящей от λ и j. Повторяя
предыдущие рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости леммы
и в этом случае.
Наконец, рассмотрим случай p = 1, m = n. Пусть x
∗
∈ Ω про-
извольная точка. Тогда найдутся P
j
и Ω
λ,j
такие, что параллелепипед
P
0
j
(x
∗
) = (x
∗
+ P
j
) ∈ Ω
λ,j
. По следствию 3.1
|u(x
∗
)| 6 K kuk
n,1,P
0
j
(x
∗
)
6 K kuk
n,1,Ω
,
постоянная K определяется параллелепипедом P
j
и числом n, то есть
зависит от n и конуса C. Лемма доказана.
Лемма 3.6. Пусть Ω — произвольная область пространства R
n
,
обладающая свойством конуса. Если mp > n, то имеет место вложе-
ние (2.25), постоянная K в (2.25) зависит только от m, n, p и конуса
C, определяющего свойство конуса для Ω.
Доказательство. Следуя рассуждениям леммы 3.4, нетрудно прий-
ти к выводу, что для доказательства леммы 3.6 достаточно установить
справедливость неравенства
sup
x∈Ω
|ϕ(x)| 6 K kϕk
m,p,Ω
, K = K(m, p, n, C), (2.27)
для любой функции ϕ ∈ C
∞
(Ω) ∩ W
m
p
(Ω).
Сначала докажем (2.27) при m = 1. В этом случае по условию леммы
p > n. Пусть x
∗
произвольная точка из Ω, C
x
∗
⊂ Ω — конечный конус,
конгруэнтный C, с вершиной в x
∗
, h — высота C. Введем в R
n
сфери-
ческую систему координат (r, θ) с центром в x
∗
. Пусть в этой системе
координат конус C
x
∗
описывается соотношениями 0 < r < h, θ ∈ A .
Элемент объема в сферической системе координат есть r
n−1
ω(θ) dr dθ.
Имеем
ϕ(x
∗
) = ϕ(0, θ ) = ϕ(r, θ) +
r
Z
0
d
dt
ϕ(t, θ) dt,
§ 2. Теоремы о непрерывном вложении Wpm (Ω)                           63


Таким образом, Wpm (Ω) → Lq (Ω) с постоянной вложения KR1/p .
     Если mp = n, то согласно следствию 3.2 неравенство (2.26) спра-
ведливо для любого p 6 q < ∞, причем по свойству 5) постоянная в
этом неравенстве может быть выбрана не зависящей от λ и j. Повторяя
предыдущие рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости леммы
и в этом случае.
     Наконец, рассмотрим случай p = 1, m = n. Пусть x∗ ∈ Ω про-
извольная точка. Тогда найдутся Pj и Ωλ,j такие, что параллелепипед
Pj0 (x∗ ) = (x∗ + Pj ) ∈ Ωλ,j . По следствию 3.1

                  |u(x∗ )| 6 K kukn,1,Pj0 (x∗ ) 6 K kukn,1,Ω ,

постоянная K определяется параллелепипедом Pj и числом n, то есть
зависит от n и конуса C. Лемма доказана.
   Лемма 3.6. Пусть Ω — произвольная область пространства Rn ,
обладающая свойством конуса. Если mp > n, то имеет место вложе-
ние (2.25), постоянная K в (2.25) зависит только от m, n, p и конуса
C, определяющего свойство конуса для Ω.
   Доказательство. Следуя рассуждениям леммы 3.4, нетрудно прий-
ти к выводу, что для доказательства леммы 3.6 достаточно установить
справедливость неравенства

            sup |ϕ(x)| 6 K kϕkm,p,Ω ,         K = K(m, p, n, C),   (2.27)
            x∈Ω

для любой функции ϕ ∈ C ∞ (Ω) ∩ Wpm (Ω).
   Сначала докажем (2.27) при m = 1. В этом случае по условию леммы
p > n. Пусть x∗ произвольная точка из Ω, Cx∗ ⊂ Ω — конечный конус,
конгруэнтный C, с вершиной в x∗ , h — высота C. Введем в Rn сфери-
ческую систему координат (r, θ) с центром в x∗ . Пусть в этой системе
координат конус Cx∗ описывается соотношениями 0 < r < h, θ ∈ A .
Элемент объема в сферической системе координат есть rn−1 ω(θ) dr dθ.
Имеем
                                          Zr
                                             d
             ϕ(x∗ ) = ϕ(0, θ) = ϕ(r, θ) +       ϕ(t, θ) dt,
                                             dt
                                                0

Страницы