Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

62 Глава 3. Теоремы вложения
5) существуют постоянные K
0
и K
00
, зависящее от n и C, такие, что
для каждой Ω
λ,j
K
0
6 mes Ω
λ,j
6 K
00
.
Действительно, свойства 1) и 2) очевидны. Для обоснования 3) заме-
тим, что область Ω
λ,j
есть объединение параллелепипедов, каждый из
которых конгруэнтен Q
j
. Очевидно, что Q
j
обладает свойством конуса,
пусть C
0
j
— конечный конус определяющий это свойство. Выбирая среди
C
0
j
конус с наименьшей высотой и наименьшим раствором, получим C
0
.
Докажем 4). Нетрудно видеть, что
Ω
λ,j
⊂
e
H
λ,j
≡
[
x∈H
λ
(x + Q
j
).
Обозначим через D
λ,j
наименьший гиперкуб, содержащий те ячейки H
λ
0
,
пересечение которых с
e
H
λ,j
не пусто. Конус C конечен, Q
j
⊂ C, следова-
тельно, при каждом j ребра D
λ,j
равномерно ограничены по λ. Поэтому
найдется число R
j
такое, что
T
s
i=1
D
λ
i
,j
пусто при любом наборе {λ
i
}
s
i=1
,
если s > R
j
+ 1 и все λ
i
различны. Максимальное число среди R
j
вы-
берем в качестве R из свойства 4). Наконец, в 5) постоянные K
0
и K
00
определим следующим образом
K
0
= max
16j6ℵ
(mes Q
j
) , K
00
= max
16j6ℵ
(mes D
λ,j
) .
Таким образом, свойства 1)–5) имеют место.
Предположим, что mp < n. Если p 6 q 6 np/(n = mp), то согласно
свойствам 2), 3) и по лемме 3.4 для любой функции u ∈ W
m
p
(Ω) имеем
kuk
0,q,Ω
λ,j
6 K kuk
m,p,Ω
λ,j
, (2.26)
где K = K(m, p, n, q, C) и не зависит от λ и j. Используя свойства 1), 4),
условие q > p и теорему 1.4, нетрудно получить следующую цепочку
неравенств
kuk
q
0,q,Ω
6
X
λ,j
kuk
q
0,q,Ω
λ,j
6 K
q
X
λ,j
·
kuk
p
m,p,Ω
λ,j
¸
q/p
6
6 K
q
·
X
λ,j
kuk
p
m,p,Ω
λ,j
¸
q/p
6 K
q
R
q/p
kuk
q
m,p,Ω
.
62                                                            Глава 3. Теоремы вложения


   5) существуют постоянные K 0 и K 00 , зависящее от n и C, такие, что
для каждой Ωλ,j
                       K 0 6 mes Ωλ,j 6 K 00 .
    Действительно, свойства 1) и 2) очевидны. Для обоснования 3) заме-
тим, что область Ωλ,j есть объединение параллелепипедов, каждый из
которых конгруэнтен Qj . Очевидно, что Qj обладает свойством конуса,
пусть Cj0 — конечный конус определяющий это свойство. Выбирая среди
Cj0 конус с наименьшей высотой и наименьшим раствором, получим C 0 .
Докажем 4). Нетрудно видеть, что
                                      [
                            e
                    Ωλ,j ⊂ Hλ,j ≡        (x + Qj ).
                                              x∈Hλ

Обозначим через Dλ,j наименьший гиперкуб, содержащий те ячейки Hλ0 ,
                      e λ,j не пусто. Конус C конечен, Qj ⊂ C, следова-
пересечение которых с H
тельно, при каждом j ребра Dλ,j равномерно ограничены по λ. Поэтому
                              T
найдется число Rj такое, что si=1 Dλi ,j пусто при любом наборе {λi }si=1 ,
если s > Rj + 1 и все λi различны. Максимальное число среди Rj вы-
берем в качестве R из свойства 4). Наконец, в 5) постоянные K 0 и K 00
определим следующим образом
           K 0 = max (mes Qj ) ,              K 00 = max (mes Dλ,j ) .
                  16j6ℵ                                   16j6ℵ

Таким образом, свойства 1)–5) имеют место.
   Предположим, что mp < n. Если p 6 q 6 np/(n = mp), то согласно
свойствам 2), 3) и по лемме 3.4 для любой функции u ∈ Wpm (Ω) имеем
                           kuk0,q,Ωλ,j 6 K kukm,p,Ωλ,j ,                         (2.26)
где K = K(m, p, n, q, C) и не зависит от λ и j. Используя свойства 1), 4),
условие q > p и теорему 1.4, нетрудно получить следующую цепочку
неравенств

           q
                    X       q
                                           X·      p
                                                            ¸q/p
                                         q
        kuk0,q,Ω 6       kuk0,q,Ωλ,j 6 K        kukm,p,Ωλ,j      6
                     λ,j                            λ,j
                    ·X                      ¸q/p
             6 Kq            kukpm,p,Ωλ,j          6 K q Rq/p kukqm,p,Ω .
                      λ,j

Страницы