Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

60 Глава 3. Теоремы вложения
6
·
Z
Ω
|u(x)|
st
dx
¸
1/t
·
Z
Ω
|u(x)|
(q−s)t
0
dx
¸
1/t
0
. (2.24)
Выберем s и t так, чтобы st = p, а (q − s)t
0
= q
m
. Нетрудно проверить,
что решением этой системы будут числа
s =
(q
m
− q)p
q
m
− p
, t =
p
s
=
q
m
− p
q
m
− q
.
При этих значениях s и t из (2.16), (2.24) будем иметь
kuk
q
0,q,Ω
6 kuk
p/t
0,p,Ω
kuk
q
m
/t
0
0,q
m
,Ω
6 K
3
kuk
q
m,p,Ω
.
Лемма доказана.
Следствие 3.2. Если Ω — ограниченная область, обладающая
свойством конуса, mp = n, то W
m
p
(Ω) → L
q
(Ω) для всех p 6 q 6 ∞,
при этом постоянная вложения может зависеть также от меры Ω.
Доказательство. Пусть q > p
0
. Положим r = pq/(p + q). Нетруд-
но видеть, что r ∈ [1, p), q = nr/(n − mr). По лемме 3.4 имеем:
W
m
r
(Ω) → L
q
(Ω). Вложение W
m
p
(Ω) → W
m
r
(Ω) при r < p следует из
свойств пространств Лебега, константа этого вложения зависит от ме-
ры области Ω и возрастает с увеличением меры. Поэтому для q > p
0
вложение (2.15) выполнено.
Для p 6 q 6 p
0
вложение (2.15) можно получить с константой, не
зависящей от меры области, если воспользоваться неравенством (2.24)
при
s =
(p
0
− q)p
p
0
− p
, t =
p
s
=
p
0
− p
p
0
− q
.
Лемма 3.5. Пусть Ω — произвольная область пространства R
n
,
обладающая свойством конуса, p > 1, m > 1. Тогда вложение (2.15)
имеет место для всех
p 6 q 6
np
n − mp
, если mp < n;
p 6 q < ∞, если mp = n.
60                                                         Глава 3. Теоремы вложения


                  ·Z                ¸1/t ·Z                           ¸1/t0
                             st                        (q−s)t0
              6         |u(x)| dx             |u(x)|             dx           .   (2.24)
                   Ω                     Ω
Выберем s и t так, чтобы st = p, а (q − s)t0 = qm . Нетрудно проверить,
что решением этой системы будут числа
                        (qm − q)p                 p   qm − p
                  s =             ,       t =       =        .
                          qm − p                  s   qm − q
При этих значениях s и t из (2.16), (2.24) будем иметь
                                  p/t     q /t0
              kukq0,q,Ω 6 kuk0,p,Ω kuk0,q
                                       m
                                          m ,Ω
                                               6 K3 kukqm,p,Ω .

Лемма доказана.
    Следствие 3.2. Если Ω — ограниченная область, обладающая
свойством конуса, mp = n, то Wpm (Ω) → Lq (Ω) для всех p 6 q 6 ∞,
при этом постоянная вложения может зависеть также от меры Ω.
    Доказательство. Пусть q > p0 . Положим r = pq/(p + q). Нетруд-
но видеть, что r ∈ [1, p), q = nr/(n − mr). По лемме 3.4 имеем:
Wrm (Ω) → Lq (Ω). Вложение Wpm (Ω) → Wrm (Ω) при r < p следует из
свойств пространств Лебега, константа этого вложения зависит от ме-
ры области Ω и возрастает с увеличением меры. Поэтому для q > p0
вложение (2.15) выполнено.
    Для p 6 q 6 p0 вложение (2.15) можно получить с константой, не
зависящей от меры области, если воспользоваться неравенством (2.24)
при
                     (p0 − q)p          p    p0 − p
                 s =           ,    t =   = 0       .
                       p0 − p           s    p −q

   Лемма 3.5. Пусть Ω — произвольная область пространства Rn ,
обладающая свойством конуса, p > 1, m > 1. Тогда вложение (2.15)
имеет место для всех
                         np
                p6q6          ,   если mp < n;
                       n − mp

                        p 6 q < ∞,            если mp = n.

Страницы