Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

58 Глава 3. Теоремы вложения
Положим bx
i
= (x
1
, . . . , x
i−1
, x
i+1
, . . . , x
n
),
F
i
(bx
i
) = sup
y∈w
i
(x)
|u(y)|
p/(n−p)
.
Из (2.19) вытекает, что
|F
i
(bx
i
)|
n−1
6
Z
w
i
(x)
|u(x)|
γ
dx
i
+ γ
Z
w
i
(x)
|u(x)|
γ−1
|D
i
u(x)|dx
i
. (2.20)
Пусть Ω
i
— проекция области Ω на плоскость x
i
= 0. Неравенство (2.20)
проинтегрируем по Ω
i
, в результате получим
Z
Ω
i
|F
i
(bx
i
)|
n−1
dbx
i
6
Z
Ω
|u(x)|
γ
dx + γ
Z
Ω
|u(x)|
γ−1
|D
i
u(x)|dx ≡
≡
Z
Ω
|u(x)|
γ−1
½
|u(x)| + γ |D
i
u(x)|
¾
dx. (2.21)
Если p > 1, то правую часть в (2.21) оценим с помощью неравенства
Гельдера с показателем p. Учитывая, что (γ − 1)p
0
= np/(n − p) = q,
будем иметь
kF
i
k
n−1
0,n−1,Ω
i
6
6 γ
·
Z
Ω
½
|u(x)| + |D
i
u(x)|
¾
p
dx
¸
1/p
·
Z
Ω
|u(x)|
(γ−1)p
0
dx
¸
1/p
0
6
6 2
(p−1)/p
γ kuk
1,p,Ω
kuk
q/p
0
0,q,Ω
. (2.22)
Очевидно, что
kuk
q
0,q,Ω
=
Z
Ω
|u(x)|
np/(n−p)
dx 6
Z
Ω
n
Y
i=1
F
i
(bx
i
) dx.
Правую часть последнего неравенства оценим с помощью леммы 3.3 при
k = n − 1, {F
J(k)
} = {F
i
, 1 6 i 6 n}. В этом случае λ = n − 1. В
результате получим
kuk
q
0,q,Ω
6
n
Y
i=1
kF
i
k
n−1
0,n−1,Ω
i
. (2.23)
58                                                                                 Глава 3. Теоремы вложения


Положим x
        bi = (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ),

                                     xi ) = sup |u(y)|p/(n−p) .
                                 Fi (b
                                                 y∈wi (x)

Из (2.19) вытекает, что
                   Z                 Z
             n−1            γ
   |Fi (b
        xi )|    6    |u(x)| dxi + γ                                |u(x)|γ−1 |Di u(x)|dxi .          (2.20)
                       wi (x)                              wi (x)

Пусть Ωi — проекция области Ω на плоскость xi = 0. Неравенство (2.20)
проинтегрируем по Ωi , в результате получим
    Z                     Z               Z
                n−1               γ
      |Fi (b
           xi )|    db
                     xi 6   |u(x)| dx + γ   |u(x)|γ−1 |Di u(x)|dx ≡
     Ωi                               Ω                             Ω
                         Z                       ½                    ¾
                                           γ−1
                     ≡          |u(x)|            |u(x)| + γ |Di u(x)| dx.                            (2.21)
                         Ω
   Если p > 1, то правую часть в (2.21) оценим с помощью неравенства
Гельдера с показателем p. Учитывая, что (γ − 1)p0 = np/(n − p) = q,
будем иметь
                            kFi kn−1
                                 0,n−1,Ωi 6
        ·Z ½                    ¾p ¸1/p ·Z                   ¸1/p0
                                                         0
    6 γ      |u(x)| + |Di u(x)|     dx       |u(x)|(γ−1)p dx       6
             Ω                                                          Ω
                                                                            q/p0
                                 6 2(p−1)/p γ kuk1,p,Ω kuk0,q,Ω .                                     (2.22)
     Очевидно, что
                                 Z                                          Z Y
                                                                              n
                 kukq0,q,Ω   =            |u(x)|np/(n−p) dx 6                         Fi (b
                                                                                          xi ) dx.
                                  Ω                                         Ω   i=1

Правую часть последнего неравенства оценим с помощью леммы 3.3 при
k = n − 1, {FJ(k) } = {Fi , 1 6 i 6 n}. В этом случае λ = n − 1. В
результате получим
                                                     n
                                                     Y
                                  kukq0,q,Ω      6          kFi kn−1
                                                                 0,n−1,Ωi .                           (2.23)
                                                     i=1

Страницы