Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

56 Глава 3. Теоремы вложения
Постоянные вложений (2.13), (2.14) зависят только от m, n, p и ко-
нуса C, определяющего свойство конуса для Ω.
Замечание 3.2. Для ограниченных областей вложение (2.13) будет иметь место и при
1 6 q 6 p, однако, постоянная вложения в этом случае будет зависеть и от меры области Ω.
Доказательство. Заметим, что непрерывное вложение W
m+j
p
(Ω) в
W
j
q
(Ω) или в C
j
B
(Ω), очевидно, будет иметь место тогда и только то-
гда, когда W
m
p
(Ω) непрерывно вложено в L
q
(Ω) или в C
B
(Ω) соответ-
ственно. Поэтому в дальнейшем можно ограничиться случаем j = 0.
Доказательство теоремы 3.2 при j = 0 разобьем на этапы, каждый из
которых оформим в виде леммы.
Лемма 3.4. Пусть Ω — ограниченная область пространства R
n
,
обладающая свойством конуса, p > 1, m > 1, mp < n. Тогда
W
m
p
(Ω) → L
q
(Ω) (2.15)
для всех p 6 q 6
np
n − mp
. Постоянная вложения зависит только от
m, n, p и конуса C, определяющего свойство конуса для Ω.
Доказательство. По теореме 2.5 множество C
∞
(Ω) ∩ W
m
p
(Ω) плотно
в W
m
p
(Ω). Поэтому для доказательства леммы 3.4 достаточно показать
(см. замечание 3.1), что для любой функции u ∈ C
∞
(Ω) ∩W
m
p
(Ω) имеет
место оценка
kuk
0,q,Ω
6 K kuk
m,p,Ω
, K = K(m, n, p, C). (2.16)
Сначала убедимся в справедливости неравенства (2.16) при m = 1,
q = np/(n−p). По теореме 3.1 область Ω может быть представлена в виде
(1.1), где Ω
j
— подобласть Ω, обладающая сильным локальным свойством
Липшица (а потому и сегмента), для которой имеет место представление
(1.2).
Очевидно, оценка (2.16) будет справедлива, если для каждой из об-
ластей Ω
j
выполнена оценка
kuk
0,q,Ω
j
6 K
j
kuk
m,p,Ω
j
, K
j
= K
j
(m, n, p, C). (2.17)
Докажем (2.17). Поскольку область Ω
j
обладает сильным локальным
свойством Липшица, то по теореме 2.6 оценку (2.17) достаточно получить
56                                                        Глава 3. Теоремы вложения


Постоянные вложений (2.13), (2.14) зависят только от m, n, p и ко-
нуса C, определяющего свойство конуса для Ω.
    Замечание 3.2. Для ограниченных областей вложение (2.13) будет иметь место и при
1 6 q 6 p, однако, постоянная вложения в этом случае будет зависеть и от меры области Ω.

     Доказательство. Заметим, что непрерывное вложение Wpm+j (Ω) в
Wqj (Ω) или в CBj (Ω), очевидно, будет иметь место тогда и только то-
гда, когда Wpm (Ω) непрерывно вложено в Lq (Ω) или в CB (Ω) соответ-
ственно. Поэтому в дальнейшем можно ограничиться случаем j = 0.
Доказательство теоремы 3.2 при j = 0 разобьем на этапы, каждый из
которых оформим в виде леммы.
   Лемма 3.4. Пусть Ω — ограниченная область пространства Rn ,
обладающая свойством конуса, p > 1, m > 1, mp < n. Тогда

                                 Wpm (Ω) → Lq (Ω)                                (2.15)
                    np
для всех p 6 q 6         . Постоянная вложения зависит только от
                  n − mp
m, n, p и конуса C, определяющего свойство конуса для Ω.
    Доказательство. По теореме 2.5 множество C ∞ (Ω) ∩ Wpm (Ω) плотно
в Wpm (Ω). Поэтому для доказательства леммы 3.4 достаточно показать
(см. замечание 3.1), что для любой функции u ∈ C ∞ (Ω) ∩ Wpm (Ω) имеет
место оценка

                 kuk0,q,Ω 6 K kukm,p,Ω ,       K = K(m, n, p, C).                (2.16)

    Сначала убедимся в справедливости неравенства (2.16) при m = 1,
q = np/(n−p). По теореме 3.1 область Ω может быть представлена в виде
(1.1), где Ωj — подобласть Ω, обладающая сильным локальным свойством
Липшица (а потому и сегмента), для которой имеет место представление
(1.2).
    Очевидно, оценка (2.16) будет справедлива, если для каждой из об-
ластей Ωj выполнена оценка

               kuk0,q,Ωj 6 Kj kukm,p,Ωj ,       Kj = Kj (m, n, p, C).            (2.17)

   Докажем (2.17). Поскольку область Ωj обладает сильным локальным
свойством Липшица, то по теореме 2.6 оценку (2.17) достаточно получить

Страницы