Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Теоремы о непрерывном вложении W
m
p
(Ω) 55
×
Z
Ω
N
½
Y
J(k)∈Im
00
(k)
·
Z
(Ω(x
N
))
J(k)
¯
¯
F
J(k)
(x
J(k)
)
¯
¯
λ
dx
¯
J(k−1)
¸
1/λ
¾
dx
N
. (2.11)
Поскольку множество Im
00
(k) состоит, как уже отмечалось ранее, из λ
элементов, последний сомножитель правой части неравенства (2.11) мо-
жем оценить с помощью обобщенного неравенства Гельдера:
Z
G
λ
Y
i=1
|f
i
(x)|
p
i
dx 6
λ
Y
i=1
½
Z
G
|f
i
(x)|
p
i
dx
¾
, (2.12)
справедливого при произвольных целых λ > 1 и любых p
i
> 1 таких,
что
λ
P
i=1
1/p
i
= 1. В результате будем иметь
Z
Ω
N
½
Y
J(k)∈Im
00
(k)
·
Z
(Ω(x
N
))
J(k)
¯
¯
F
J(k)
(x
J(k)
)
¯
¯
λ
dx
¯
J(k−1)
¸
1/λ
¾
dx
N
6
6
Y
J(k)∈Im
00
(k)
½
Z
Ω
N
Z
(Ω(x
N
))
J(k)
¯
¯
F
J(k)
(x
J(k)
)
¯
¯
λ
dx
¯
J(k−1)
dx
N
¾
1/λ
6
6
Y
J(k)∈Im
00
(k)
½
Z
Ω
J(k)
¯
¯
F
J(k)
(x
J(k)
)
¯
¯
λ
dx
J(k)
¾
1/λ
.
Из последнего неравенства и (2.11) следует справедливость неравенства
(2.6) при n = N. Лемма доказана.
Теорема 3.2. Пусть Ω — область пространства R
n
, обладающая
свойством конуса, p > 1, m > 1. Тогда при любом целом j > 0
W
m+j
p
(Ω) → W
j
q
(Ω) (2.13)
для всех
p 6 q 6
np
n − mp
, если mp < n;
p 6 q < ∞, если mp = n.
При mp > n, а также p = 1, m = n
W
m+j
p
(Ω) → C
j
B
(Ω). (2.14)
§ 2. Теоремы о непрерывном вложении Wpm (Ω)                                                                55


        Z ½      Y           ·          Z                                      ¸1/λ ¾
                                                  ¯              ¯
    ×                                             ¯FJ(k) (xJ(k) )¯λ dxJ(k−1)
                                                                      ¯                  dxN .          (2.11)
                        00
      ΩN      J(k)∈Im (k) (Ω(x ))
                              N J(k)


Поскольку множество Im00 (k) состоит, как уже отмечалось ранее, из λ
элементов, последний сомножитель правой части неравенства (2.11) мо-
жем оценить с помощью обобщенного неравенства Гельдера:
               Z Yλ                λ ½Z
                                   Y                 ¾
                             pi                   pi
                     |fi (x)| dx 6        |fi (x)| dx ,        (2.12)
                        G i=1                              i=1   G

справедливого при произвольных целых λ > 1 и любых pi > 1 таких,
    P
    λ
что   1/pi = 1. В результате будем иметь
    i=1
        Z ½       Y              ·        Z                                       ¸1/λ ¾
                                                    ¯              ¯
                                                    ¯FJ(k) (xJ(k) )¯λ dxJ(k−1)
                                                                        ¯                    dxN 6
      ΩN      J(k)∈Im00 (k)          (Ω(xN ))J(k)

               Y             ½Z               Z                                              ¾1/λ
                                                       ¯              ¯
      6                                                ¯FJ(k) (xJ(k) )¯λ dxJ(k−1)
                                                                           ¯      dxN               6
                   00
           J(k)∈Im (k)        ΩN (Ω(xN ))J(k)

                             Y              ½ Z                                   ¾1/λ
                                                       ¯              ¯
                  6                                    ¯FJ(k) (xJ(k) )¯λ dxJ(k)          .
                        J(k)∈Im00 (k)          ΩJ(k)

Из последнего неравенства и (2.11) следует справедливость неравенства
(2.6) при n = N . Лемма доказана.
    Теорема 3.2. Пусть Ω — область пространства Rn , обладающая
свойством конуса, p > 1, m > 1. Тогда при любом целом j > 0

                                            Wpm+j (Ω) → Wqj (Ω)                                         (2.13)

для всех                                        np
                             p6q6                    ,        если mp < n;
                                              n − mp

                                 p 6 q < ∞,                   если mp = n.
При mp > n, а также p = 1, m = n

                                            Wpm+j (Ω) → CBj (Ω).                                        (2.14)

Страницы