Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Теоремы о непрерывном вложении W
m
p
(Ω) 53
=
Z
Ω
N
dx
N
Z
Ω(x
N
)
Y
J(k)∈Im(k)
|F
J(k)
(x
J(k)
)|dx
1
. . . dx
N−1
=
=
Z
Ω
N
dx
N
Z
Ω(x
N
)
Y
J(k)∈Im
0
(k)
|F
J(k)
(x
J(k)
)|
Y
J(k)∈Im
00
(k)
|F
J(k)
(x
J(k)
)|dx
1
. . . dx
N−1
.
Внутренний интеграл в правой части последнего соотношения оценим с
помощью неравенства Гельдера с показателями p = λ/µ, p
0
= λ/ν. В
результате получим
I 6
Z
Ω
N
(I
1
)
µ/λ
(I
2
)
ν/λ
dx
N
, (2.7)
где
I
1
=
Z
Ω(x
N
)
Y
J(k)∈Im
0
(k)
|F
J(k)
(x
J(k)
)|
λ/µ
dx
1
. . . dx
N−1
,
I
2
=
Z
Ω(x
N
)
Y
J(k)∈Im
00
(k)
|F
J(k)
(x
J(k)
)|
λ/ν
dx
1
. . . dx
N−1
.
Оценим I
1
. Подынтегральная функция в этом выражении не зависит от
x
N
, то есть является функцией N − 1 аргумента. Следовательно, для
оценки I
1
можно воспользоваться неравенством (2.6), если положить
˜
F
J(k)
(x
J(k)
) = | F
J(k)
(x
J(k)
)|
λ/µ
, а
˜
F =
Q
J(k)∈Im
0
(k)
˜
F
J(k)
(x
J(k)
). По условию
леммы для почти всех x
N
∈ Ω
N
функция
˜
F
J(k)
(x
J(k)
) принадлежит про-
странству L
µ
(Ω(x
N
)). Поскольку Im
0
(k) содержит все наборы из множе-
ства {1, . . . , N − 1} по k, а µ = C
k−1
N−2
, то по предположению индукции
имеем
I
1
6
Y
J(k)∈Im
0
(k)
·
Z
(Ω(x
N
))
J(k)
|F
J(k)
(x
J(k)
)|
λ
dx
J(k)
¸
1/µ
6
6
Y
J(k)∈Im
0
(k)
·
Z
(Ω)
J(k)
|F
J(k)
(x
J(k)
)|
λ
dx
J(k)
¸
1/µ
. (2.8)
Последнее неравенство справедливо, поскольку (Ω(x
N
))
J(k)
⊂ (Ω)
J(k)
.
§ 2. Теоремы о непрерывном вложении Wpm (Ω)                                                                   53

                     Z             Z             Y
               =         dxN                               |FJ(k) (xJ(k) )| dx1 . . . dxN −1 =
                   ΩN           Ω(xN ) J(k)∈Im(k)
    Z            Z            Y                                    Y
=        dxN                               |FJ(k) (xJ(k) )|                     |FJ(k) (xJ(k) )| dx1 . . . dxN −1 .
                                   0                                   00
    ΩN         Ω(xN ) J(k)∈Im (k)                              J(k)∈Im (k)

Внутренний интеграл в правой части последнего соотношения оценим с
помощью неравенства Гельдера с показателями p = λ/µ, p0 = λ/ν. В
результате получим
                          Z
                     I 6    (I1 )µ/λ (I2 )ν/λ dxN ,           (2.7)
                                                 ΩN

где                            Z           Y
                 I1 =                                  |FJ(k) (xJ(k) )|λ/µ dx1 . . . dxN −1 ,
                                           0
                             Ω(xN ) J(k)∈Im (k)
                              Z             Y
                 I2 =                                  |FJ(k) (xJ(k) )|λ/ν dx1 . . . dxN −1 .
                                           00
                             Ω(xN ) J(k)∈Im (k)

Оценим I1 . Подынтегральная функция в этом выражении не зависит от
xN , то есть является функцией N − 1 аргумента. Следовательно, для
оценки I1 можно воспользоваться неравенством (2.6), если положить
                                               Q
F̃J(k) (xJ(k) ) = |FJ(k) (xJ(k) )|λ/µ , а F̃ =   F̃J(k) (xJ(k) ). По условию
                                                                J(k)∈Im0 (k)
леммы для почти всех xN ∈ ΩN функция F̃J(k) (xJ(k) ) принадлежит про-
странству Lµ (Ω(xN )). Поскольку Im0 (k) содержит все наборы из множе-
ства {1, . . . , N − 1} по k, а µ = CNk−1
                                        −2 , то по предположению индукции
имеем
                       Y ·        Z                             ¸1/µ
             I1 6                      |FJ(k) (xJ(k) )|λ dxJ(k)      6
                         J(k)∈Im0 (k)        (Ω(xN ))J(k)

                                   Y         ·     Z                                   ¸1/µ
                                                                            λ
                         6                                 |FJ(k) (xJ(k) )| dxJ(k)            .            (2.8)
                                       0
                              J(k)∈Im (k)        (Ω)J(k)

Последнее неравенство справедливо, поскольку (Ω(xN ))J(k) ⊂ (Ω)J(k) .

Страницы