Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Теоремы о непрерывном вложении W
m
p
(Ω) 51
постоянная K
P
определяется функцией χ, то есть параллелепипедом P ,
и числом n. По лемме 3.2
|˜u(y)| 6 k˜uk
n,1,R
∀y ⊆ R .
Из последних двух неравенств и определения функции ˜u следует (2.5).
Следующая лемма, доказанная Гальярдо (см. [6]), по сути является
комбинаторной. На использовании этой леммы и теоремы 3.1 строится
доказательство основных теорем вложения.
Лемма 3.3. Пусть Ω — область в R
n
, n > 2, k — целое чис-
ло, принадлежащее [1, n]. Обозначим через J(k) = (j
1
, j
2
, . . . , j
k
) набор
целых чисел, удовлетворяющих неравенствам
1 6 j
1
< j
2
< j
3
< . . . < j
k
6 n.
Пусть Im(k) — множество всех таких наборов. Обозначим через E
J(k)
подпространство R
n
размерности k, натянутое на орты всех коорди-
натных осей, чьи номера присутствуют в J(k). Каждой точке x ∈ R
n
поставим в соответствие точку x
J(k)
= (x
j
1
, . . . , x
j
k
) из пространства
E
J(k)
. Обозначим через G
J(k)
проекцию множества G ⊂ R
n
на E
J(k)
:
G
J(k)
=
©
x ∈ E
J(k)
| ∃y ∈ G : y
J(k)
= x
ª
,
Далее пусть F
J(k)
— функция, определенная на Ω
J(k)
. Если
F
J(k)
∈ L
λ
(Ω
J(k)
), λ = C
k−1
n−1
, ∀J(k) ∈ Im(k) ,
то функция
F (x) =
Y
J(k)∈Im(k)
F
J(k)
(x
J(k)
) ∈ L
1
(Ω),
причем
·
Z
Ω
|F (x)|dx
¸
λ
6
Y
J(k)∈Im(k)
Z
Ω
J(k)
|F
J(k)
|
λ
dx
J(k)
, (2.6)
здесь dx
J(k)
= dx
j
1
. . . dx
j
k
.
Доказательство леммы будем проводить с помощью метода индук-
ции. Сначала установим справедливость (2.6) для n = 2. В этом случае
§ 2. Теоремы о непрерывном вложении Wpm (Ω)                                      51


постоянная KP определяется функцией χ, то есть параллелепипедом P ,
и числом n. По лемме 3.2

                          |ũ(y)| 6 kũkn,1,R ∀y ⊆ R .

Из последних двух неравенств и определения функции ũ следует (2.5).
   Следующая лемма, доказанная Гальярдо (см. [6]), по сути является
комбинаторной. На использовании этой леммы и теоремы 3.1 строится
доказательство основных теорем вложения.
    Лемма 3.3. Пусть Ω — область в Rn , n > 2, k — целое чис-
ло, принадлежащее [1, n]. Обозначим через J(k) = (j1 , j2 , . . . , jk ) набор
целых чисел, удовлетворяющих неравенствам

                     1 6 j1 < j2 < j3 < . . . < jk 6 n.

Пусть Im(k) — множество всех таких наборов. Обозначим через EJ(k)
подпространство Rn размерности k, натянутое на орты всех коорди-
натных осей, чьи номера присутствуют в J(k). Каждой точке x ∈ Rn
поставим в соответствие точку xJ(k) = (xj1 , . . . , xjk ) из пространства
EJ(k) . Обозначим через GJ(k) проекцию множества G ⊂ Rn на EJ(k) :
                       ©                                   ª
               GJ(k) = x ∈ EJ(k) | ∃y ∈ G : yJ(k) = x ,

    Далее пусть FJ(k) — функция, определенная на ΩJ(k) . Если
                                            k−1
            FJ(k) ∈ Lλ (ΩJ(k) ),       λ = Cn−1 ,          ∀J(k) ∈ Im(k) ,

то функция                         Y
                     F (x) =                FJ(k) (xJ(k) ) ∈ L1 (Ω),
                               J(k)∈Im(k)
причем
                ·Z             ¸λ           Y       Z
                     |F (x)| dx 6                         |FJ(k) |λ dxJ(k) ,   (2.6)
                 Ω                     J(k)∈Im(k) Ω
                                                   J(k)

здесь dxJ(k) = dxj1 . . . dxjk .
   Доказательство леммы будем проводить с помощью метода индук-
ции. Сначала установим справедливость (2.6) для n = 2. В этом случае

Страницы