Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Теоремы о непрерывном вложении W
m
p
(Ω) 49
Для произвольной точки ζ ∈ [a
n
, b
n
] имеем
|u(x
0
, ζ)|
p
=
¯
¯
¯
¯
u(x
0
, σ) +
ζ
Z
σ
D
n
u(x
0
, t) dt
¯
¯
¯
¯
p
6
6 2
p−1
·
|u(x
0
, σ)|
p
+ |ζ − σ|
p−1
ζ
Z
σ
|D
n
u(x
0
, t)|
p
dt
¸
.
Интегрируя последнее неравенство по x
0
, нетрудно получить оценку:
ku(·, ζ)k
p
0,p,R
0
6 2
p−1
·
ku(·, σ)k
p
0,p,R
0
+ (b
n
− a
n
)
p−1
kD
n
uk
p
0,p,R
¸
6
6 2
p−1
·
(b
n
− a
n
)
−1
kuk
p
0,p,R
+ (b
n
− a
n
)
p−1
kD
n
uk
p
0,p,R
¸
,
откуда, очевидно, следует (2.3) с константой
K =
·
2
p−1
max
½
(b
n
− a
n
)
−1
, (b
n
− a
n
)
p−1
¾¸
1/p
.
Лемма доказана.
Отметим, что постоянная K в (2.3) непрерывно зависит от (b
n
− a
n
)
и стремится к бесконечности, если (b
n
− a
n
) стремится к нулю или к
бесконечности.
Лемма 3.2. Пусть R — прямоугольный параллелепипед, опреде-
ленный в лемме 3.1. Тогда
W
n
1
(R) → C(R),
при этом постоянная вложения зависит от n и размеров R.
Доказательство. Пусть x — произвольная точка R. Если u ∈ C
∞
(R)
и |α| 6 n −1, то по лемме 3.1 имеем
kD
α
u(·, x
n
)k
0,1,R
0
6 K
1
kD
α
uk
1,1,R
.
Таким образом,
ku(·, x
n
)k
n−1,1,R
0
6 K
2
kuk
n,1,R
§ 2. Теоремы о непрерывном вложении Wpm (Ω)                                       49


Для произвольной точки ζ ∈ [an , bn ] имеем
                               ¯            Zζ                 ¯p
                               ¯                               ¯
               |u(x0 , ζ)|p = ¯¯u(x0 , σ) +    Dn u(x0 , t) dt¯¯ 6
                                            σ

                     ·                              Zζ                    ¸
           6 2p−1 |u(x0 , σ)|p + |ζ − σ|p−1              |Dn u(x0 , t)|p dt .
                                                    σ
                                                0
Интегрируя последнее неравенство по x , нетрудно получить оценку:
                          ·                                         ¸
            p         p−1            p                  p−1    p
   ku(·, ζ)k0,p,R0 6 2      ku(·, σ)k0,p,R0 + (bn − an ) kDn uk0,p,R 6
                 ·                                                            ¸
         6 2p−1 (bn − an )−1 kukp0,p,R + (bn − an )p−1 kDn ukp0,p,R ,

откуда, очевидно, следует (2.3) с константой
                 ·         ½                           ¾¸1/p
                    p−1               −1           p−1
            K= 2        max (bn − an ) , (bn − an )          .

Лемма доказана.
    Отметим, что постоянная K в (2.3) непрерывно зависит от (bn − an )
и стремится к бесконечности, если (bn − an ) стремится к нулю или к
бесконечности.
   Лемма 3.2. Пусть R — прямоугольный параллелепипед, опреде-
ленный в лемме 3.1. Тогда

                                W1n (R) → C(R),

при этом постоянная вложения зависит от n и размеров R.
    Доказательство. Пусть x — произвольная точка R. Если u ∈ C ∞ (R)
и |α| 6 n − 1, то по лемме 3.1 имеем

                     kDα u(·, xn )k0,1,R0 6 K1 kDα uk1,1,R .

Таким образом,
                         ku(·, xn )kn−1,1,R0 6 K2 kukn,1,R

Страницы