Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Теоремы о непрерывном вложении W
m
p
(Ω) 47
пояснить, что понимается в дальнейшем под непрерывным вложением
пространства X в Y .
Пусть X и Y — банаховы пространства вещественнозначных функ-
ций, областями определения которых являются Ω
X
и Ω
Y
⊂ Ω
X
соответ-
ственно. Будем говорить, что X непрерывно вложено в Y и обозначать
X → Y , если существует линейный ограниченный оператор A, действу-
ющий из X в Y , значение которого на элементе z из всюду плотного в X
множества Z ⊂ C
∞
(Ω
X
) совпадает с сужением функции z на Ω
Y
. При
этом оператор A называют оператором вложения пространства X в Y .
В дальнейшем будет полезным следующее
Замечание 3.1. Для непрерывного вложения X в Y достаточно, чтобы для любого
z ∈ Z имела место оценка
kzk
Y
6 K kzk
X
(2.1)
с постоянной K, независящей от z. (Здесь и всюду ниже функция и ее сужение обозначаются
одинаково). Действительно, оценка (2.1) означает, что оператор сужения на Z является
ограниченным оператором и, следовательно, может быть продолжен с сохранением нормы
на все X. Полученный в результате оператор и есть оператор непрерывного вложения X
в Y . При этом элемент Au для любого u ∈ X однозначно определяется равенством
A u = lim
n→∞
A z
n
, (2.2)
где {z
n
}
∞
n=1
— произвольная последовательность из Z, сходящаяся к u.
Отметим, что при вложении W
m
p
(Ω) → W
j
q
(Ω) элементы Au и u
являются пределами одной и той же последовательности {z
n
}
∞
n=1
из Z
в пространствах W
j
q
(Ω) и W
m
p
(Ω) соответственно, поэтому Au можно
отождествить с u. Если рассматривать вложение W
m
p
(Ω) в C
j
B
(Ω) или
C
j,α
(Ω), то Au — непрерывная функция, в то время как u — класс эк-
вивалентных функции. Поэтому под вложением W
m
p
(Ω) в пространства
C
j
B
(Ω) или C
j,α
(Ω) понимается существование в каждом классе экви-
валентности из W
m
p
(Ω) функции, принадлежащей C
j
B
(Ω) или C
j,α
(Ω),
и Au совпадает с непрерывным представителем этого класса. При вло-
жении W
m
p
(Ω) → W
j
q
(Ω
k
) элемент Au, определенный равенством (2.2),
называется следом функции u ∈ W
m
p
(Ω). Часто вместо Au пишут про-
сто u, различая образ и прообраз по принадлежности к пространству X
или Y . Мы тоже будем следовать этой традиции.
Большинство из содержащихся в этом параграфе теорем вложения
доказано для областей, обладающих свойством конуса, и лишь некоторые
§ 2. Теоремы о непрерывном вложении Wpm (Ω)                                         47


пояснить, что понимается в дальнейшем под непрерывным вложением
пространства X в Y .
    Пусть X и Y — банаховы пространства вещественнозначных функ-
ций, областями определения которых являются ΩX и ΩY ⊂ ΩX соответ-
ственно. Будем говорить, что X непрерывно вложено в Y и обозначать
X → Y , если существует линейный ограниченный оператор A, действу-
ющий из X в Y , значение которого на элементе z из всюду плотного в X
множества Z ⊂ C ∞ (ΩX ) совпадает с сужением функции z на ΩY . При
этом оператор A называют оператором вложения пространства X в Y .
    В дальнейшем будет полезным следующее
     Замечание 3.1. Для непрерывного вложения X в Y достаточно, чтобы для любого
z ∈ Z имела место оценка
                                kzkY 6 K kzkX                               (2.1)
с постоянной K, независящей от z. (Здесь и всюду ниже функция и ее сужение обозначаются
одинаково). Действительно, оценка (2.1) означает, что оператор сужения на Z является
ограниченным оператором и, следовательно, может быть продолжен с сохранением нормы
на все X. Полученный в результате оператор и есть оператор непрерывного вложения X
в Y . При этом элемент Au для любого u ∈ X однозначно определяется равенством

                                   A u = lim A zn ,                               (2.2)
                                          n→∞

где {zn }∞
         n=1 — произвольная последовательность из Z, сходящаяся к u.

     Отметим, что при вложении Wpm (Ω) → Wqj (Ω) элементы Au и u
являются пределами одной и той же последовательности {zn }∞ n=1 из Z
в пространствах Wqj (Ω) и Wpm (Ω) соответственно, поэтому Au можно
отождествить с u. Если рассматривать вложение Wpm (Ω) в CBj (Ω) или
C j,α (Ω), то Au — непрерывная функция, в то время как u — класс эк-
вивалентных функции. Поэтому под вложением Wpm (Ω) в пространства
CBj (Ω) или C j,α (Ω) понимается существование в каждом классе экви-
валентности из Wpm (Ω) функции, принадлежащей CBj (Ω) или C j,α (Ω),
и Au совпадает с непрерывным представителем этого класса. При вло-
жении Wpm (Ω) → Wqj (Ωk ) элемент Au, определенный равенством (2.2),
называется следом функции u ∈ Wpm (Ω). Часто вместо Au пишут про-
сто u, различая образ и прообраз по принадлежности к пространству X
или Y . Мы тоже будем следовать этой традиции.
     Большинство из содержащихся в этом параграфе теорем вложения
доказано для областей, обладающих свойством конуса, и лишь некоторые

Страницы