Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

46 Глава 3. Теоремы вложения
Из (1.8)–(1.10) следует, что функция F непрерывна по Липшицу с кон-
стантой M.
Далее, поскольку область Ω ограничена, то можно построить конеч-
ное открытое покрытие ∂Ω, элементами которого являются открытые
шары, радиуса σ. Из вышесказанного следует, что для каждого такого
шара существует ортогональная система координат, в которой граница
области Ω описывается липшиц-непрерывной функцией, определенной в
(1.6). Условию 2) в определении сильного локального свойства Липшица
легко удовлетворить, если присутствующий в определении параметр δ
выбрать, например, равным σ/3 и потребовать, чтобы расстояние меж-
ду центрами соседних шаров в покрытии ∂Ω было меньше σ/3. Таким
образом, область Ω обладает сильным локальным свойством Липшица.
Теорема доказана.
§ 2. Теоремы о непрерывном вложении W
m
p
(Ω)
В этой главе излагаются результаты о непрерывном вложении про-
странства W
m
p
(Ω) в пространства следующих типов: в W
j
q
(Ω), j 6 m,
в частности, в L
q
(Ω), в пространства
C
j
B
(Ω) =
½
u ∈ C
j
(Ω)
¯
¯
¯
¯
sup
x∈Ω
|D
α
u| < ∞, |α| 6 j
¾
,
kuk = max
06|α|6j
sup
x∈Ω
|D
α
u|;
в пространства C
j,λ
(Ω) и в W
j
q
(Ω
k
), где через Ω
k
обозначено пересече-
ние Ω с k-мерной плоскостью в R
n
, рассматриваемое как область в R
k
.
Заметим, что пространство C
B
(Ω) ⊂ C(Ω), но оно шире C(Ω). Так,
например, функция sin(1/x) принадлежит C
B
(0, 1) , но не принадлежит
C([0, 1]).
Следует отметить, что используемое в теории пространств Соболе-
ва понятие вложения множества X в множество Y шире понятия по-
элементного вложения. В частности, область определения функций из
X может не совпадать с областью определения элементов Y , как, на-
пример, при вложении W
m
p
(Ω) в W
j
q
(Ω
k
). В связи с этим необходимо
46                                              Глава 3. Теоремы вложения


Из (1.8)–(1.10) следует, что функция F непрерывна по Липшицу с кон-
стантой M .
    Далее, поскольку область Ω ограничена, то можно построить конеч-
ное открытое покрытие ∂Ω, элементами которого являются открытые
шары, радиуса σ. Из вышесказанного следует, что для каждого такого
шара существует ортогональная система координат, в которой граница
области Ω описывается липшиц-непрерывной функцией, определенной в
(1.6). Условию 2) в определении сильного локального свойства Липшица
легко удовлетворить, если присутствующий в определении параметр δ
выбрать, например, равным σ/3 и потребовать, чтобы расстояние меж-
ду центрами соседних шаров в покрытии ∂Ω было меньше σ/3. Таким
образом, область Ω обладает сильным локальным свойством Липшица.
Теорема доказана.

        § 2. Теоремы о непрерывном вложении Wpm (Ω)

    В этой главе излагаются результаты о непрерывном вложении про-
странства Wpm (Ω) в пространства следующих типов: в Wqj (Ω), j 6 m,
в частности, в Lq (Ω), в пространства
                    ½            ¯                      ¾
                                 ¯
          CB (Ω) = u ∈ C (Ω) ¯¯ sup |D u| < ∞, |α| 6 j ,
            j               j          α
                                   x∈Ω

                        kuk = max sup |Dα u|;
                               06|α|6j x∈Ω

в пространства C j,λ (Ω) и в Wqj (Ωk ), где через Ωk обозначено пересече-
ние Ω с k-мерной плоскостью в Rn , рассматриваемое как область в Rk .
Заметим, что пространство CB (Ω) ⊂ C(Ω), но оно шире C(Ω). Так,
например, функция sin(1/x) принадлежит CB (0, 1) , но не принадлежит
C([0, 1]).
    Следует отметить, что используемое в теории пространств Соболе-
ва понятие вложения множества X в множество Y шире понятия по-
элементного вложения. В частности, область определения функций из
X может не совпадать с областью определения элементов Y , как, на-
пример, при вложении Wpm (Ω) в Wqj (Ωk ). В связи с этим необходимо

Страницы