Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

44 Глава 3. Теоремы вложения
то найдется параллелепипед x
∗
+ P , у которого одна из вершин принад-
лежит шару B. Назовем ее v
l
∗
.Тогда, очевидно,
B ∩ (x
∗
+ P ) = B ∩ (x
∗
+ Q
l
∗
).
(1.4)
Докажем далее, что при малом ρ равенство (1.4) будет справедливым
для любого параллелепипеда x + P, пересечение которого с B не пусто.
Пусть y ∈ A — еще одна точка, для которой пересечение y + P с B не
пусто. Если среди вершин y + P, принадлежащих всем граням y + P, пе-
ресечение которых с B не пусто, встречается v
l
∗
, то равенство (1.4), оче-
видно, будет справедливым и при x
∗
= y. В противном случае обозначим
v
l
0
одну из вершин y + P, принадлежащую всем граням y + P, которые
пересекает B. Поскольку l
0
6= l
∗
, то найдутся точки a и b, принадлежа-
щие противоположным граням P, такие, что x
∗
+ a ∈ B ∩ (x
∗
+ P ), а
y + b ∈ B ∩ (y + P ). Учитывая, что dist(x
∗
, y) 6 diamA 6 ρ, можно
записать следующую цепочку неравенств
ρ > dist(x
∗
, y) = dist(x
∗
+ b, y + b) >
> dist(x
∗
+ b, x
∗
+ a) − dist(x
∗
+ a, y + b) > 2δ − 2σ = δ.
Если ρ < δ, то эта цепочка неравенств содержит противоречие, следо-
вательно, множество вершин y + P, принадлежащих всем граням y + P ,
пересечение которых с B не пусто, обязательно содержит v
l
∗
. Равенство
(1.3) доказано.
Построим в R
n
декартову систему координат η = (η
1
, . . . , η
n
) с нача-
лом в c(P ) так, чтобы ось η
n
была направлена от c(P) к точке v
l
∗
. Будем
обозначать через η
i
(x) — i-тую компоненту вектора x в новой системе
координат, e(η
i
) — орт оси η
i
.
Пусть B ∩ Ω 6= B. Положим Γ
B
= ∂(B ∩ Ω)\∂B. Ясно, что Γ
B
⊂ ∂Ω
и Γ
B
⊂ B. Поэтому для любой точки x ∈ Γ
B
найдется положительное
число ε такое, что S(x, ε) ∩ Ω ⊂ B ∩ Ω. По построению координатной
системы η точка x − ε
1
e(η
n
) ∈ B ∩ Ω для положительных ε
1
6 ε. Это
означает, что
x = lim
ε→0+
(x − ε e(η
n
)) ∀x ∈ Γ
B
. (1.5)
44                                                 Глава 3. Теоремы вложения


то найдется параллелепипед x∗ + P , у которого одна из вершин принад-
лежит шару B. Назовем ее vl∗ .Тогда, очевидно,

                      B ∩ (x∗ + P ) = B ∩ (x∗ + Ql∗ ).                  (1.4)

     Докажем далее, что при малом ρ равенство (1.4) будет справедливым
для любого параллелепипеда x + P, пересечение которого с B не пусто.
Пусть y ∈ A — еще одна точка, для которой пересечение y + P с B не
пусто. Если среди вершин y + P, принадлежащих всем граням y + P, пе-
ресечение которых с B не пусто, встречается vl∗ , то равенство (1.4), оче-
видно, будет справедливым и при x∗ = y. В противном случае обозначим
vl0 одну из вершин y + P, принадлежащую всем граням y + P, которые
пересекает B. Поскольку l0 6= l∗ , то найдутся точки a и b, принадлежа-
щие противоположным граням P, такие, что x∗ + a ∈ B ∩ (x∗ + P ), а
y + b ∈ B ∩ (y + P ). Учитывая, что dist(x∗ , y) 6 diamA 6 ρ, можно
записать следующую цепочку неравенств

                 ρ > dist(x∗ , y) = dist(x∗ + b, y + b) >

      > dist(x∗ + b, x∗ + a) − dist(x∗ + a, y + b) > 2δ − 2σ = δ.
Если ρ < δ, то эта цепочка неравенств содержит противоречие, следо-
вательно, множество вершин y + P, принадлежащих всем граням y + P,
пересечение которых с B не пусто, обязательно содержит vl∗ . Равенство
(1.3) доказано.
    Построим в Rn декартову систему координат η = (η1 , . . . , ηn ) с нача-
лом в c(P ) так, чтобы ось ηn была направлена от c(P ) к точке vl∗ . Будем
обозначать через ηi (x) — i-тую компоненту вектора x в новой системе
координат, e(ηi ) — орт оси ηi .
    Пусть B ∩ Ω 6= B. Положим ΓB = ∂(B ∩ Ω)\∂B. Ясно, что ΓB ⊂ ∂Ω
и ΓB ⊂ B. Поэтому для любой точки x ∈ ΓB найдется положительное
число ε такое, что S(x, ε) ∩ Ω ⊂ B ∩ Ω. По построению координатной
системы η точка x − ε1 e(ηn ) ∈ B ∩ Ω для положительных ε1 6 ε. Это
означает, что
                   x = lim (x − ε e(ηn ))   ∀x ∈ ΓB .                   (1.5)
                        ε→0+

Страницы