Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Геометрические свойства областей 43
область Ω
j
определим с помощью равенства (1.2). Из вышесказанного
следует, что Ω =
k
S
j=1
Ω
j
, ℵ = k. Утверждения (1.1), (1.2) доказаны.
Пусть далее Ω — ограниченная область, ρ > 0 — заданное число.
Докажем, что в этом случае возможно разбиение указанного вида такое,
что diam(A
j
) 6 ρ для всех j . Предположим, что в построенном при дока-
зательстве первой части теоремы разбиении для некоторого j
∗
оказалось,
что diam(A
j
∗
) > ρ. Так как A
j
∗
⊂ Ω, то diam(A
j
∗
) конечен. Поэтому A
j
∗
можно представить в виде объединения конечного числа подмножеств
A
j
∗
i
, диаметр которых меньше ρ. Полагаем P
j
∗
i
= P
j
∗
для всех i. После
соответствующей перенумерации получим разбиение требуемого типа.
Осталось показать, что при достаточно малом ρ каждая область Ω
j
обладает сильным локальным свойством Липшица. Для простоты обо-
значений в дальнейшем будем опускать индекс j, то есть будем доказы-
вать это утверждение для области Ω =
S
x∈A
(x + P ), где P — фиксиро-
ванный параллелепипед, а diam(A) 6 ρ.
Обозначим через v
l
, 1 6 l 6 2
n
, вершины параллелепипеда P , через
Q
l
бесконечную пирамиду с вершиной в точке v
l
:
Q
l
= {y = v
l
+ λ(x − v
l
) | x ∈ P, λ > 0}.
Ясно, что P =
2
n
T
l=1
Q
l
.
Пусть Ω
(l)
=
S
x∈A
(x + Q
l
), δ = dist(c(P), ∂P ), где c(P ) — центр P .
Докажем, что для любого шара B радиуса σ = δ/2, пересечение
которого с Ω не пусто, найдется номер l
∗
такой, что
B ∩ Ω = B ∩ Ω
(l
∗
)
. (1.3)
Рассмотрим параллелепипед x + P, пересечение которого с B не пу-
сто. Нетрудно видеть, что из-за малости радиуса шар B не может пере-
секать противоположные грани x + P одновременно. Поэтому B может
принадлежать не больше одной вершины параллелепипеда x + P . Кроме
того, поскольку, B ∩ Ω — непустое подмножество Ω, а Ω =
S
x∈A
(x + P ),
§ 1. Геометрические свойства областей                                            43


область Ωj определим с помощью равенства (1.2). Из вышесказанного
                 S
                 k
следует, что Ω =   Ωj , ℵ = k. Утверждения (1.1), (1.2) доказаны.
                      j=1
      Пусть далее Ω — ограниченная область, ρ > 0 — заданное число.
Докажем, что в этом случае возможно разбиение указанного вида такое,
что diam(Aj ) 6 ρ для всех j. Предположим, что в построенном при дока-
зательстве первой части теоремы разбиении для некоторого j ∗ оказалось,
что diam(Aj ∗ ) > ρ. Так как Aj ∗ ⊂ Ω, то diam(Aj ∗ ) конечен. Поэтому Aj ∗
можно представить в виде объединения конечного числа подмножеств
Aji∗ , диаметр которых меньше ρ. Полагаем Pji∗ = Pj ∗ для всех i. После
соответствующей перенумерации получим разбиение требуемого типа.
      Осталось показать, что при достаточно малом ρ каждая область Ωj
обладает сильным локальным свойством Липшица. Для простоты обо-
значений в дальнейшем будем опускать индекс j, то есть будем доказы-
                                            S
вать это утверждение для области Ω =          (x + P ), где P — фиксиро-
                                               x∈A
ванный параллелепипед, а diam(A) 6 ρ.
    Обозначим через vl , 1 6 l 6 2n , вершины параллелепипеда P , через
Ql бесконечную пирамиду с вершиной в точке vl :

                 Ql = { y = vl + λ(x − vl ) | x ∈ P, λ > 0}.
                 2n
                 T
Ясно, что P =         Ql .
                 l=1S
    Пусть Ω(l) =        (x + Ql ), δ = dist(c(P ), ∂P ), где c(P ) — центр P .
                   x∈A
   Докажем, что для любого шара B радиуса σ = δ/2, пересечение
которого с Ω не пусто, найдется номер l∗ такой, что
                                                 ∗
                              B ∩ Ω = B ∩ Ω(l ) .                          (1.3)

    Рассмотрим параллелепипед x + P, пересечение которого с B не пу-
сто. Нетрудно видеть, что из-за малости радиуса шар B не может пере-
секать противоположные грани x + P одновременно. Поэтому B может
принадлежать не больше одной вершины параллелепипеда x + P . Кроме
                                                          S
того, поскольку, B ∩ Ω — непустое подмножество Ω, а Ω =     (x + P ),
                                                                    x∈A

Страницы