Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Геометрические свойства областей 41
3) Φ
j
(U
j
∩ Ω) = {y ∈ B |y
n
> 0} для каждого j;
4) существует число М такое, что для всех i, 1 6 i 6 n, для всех
α, |α| 6 m, и для каждого j справедливы оценки
|D
α
Φ
j
i
(x) | 6 M, x ∈ U
j
, |D
α
Ψ
j
i
(y) | 6 M, y ∈ B,
здесь Φ
j
i
(x) и Ψ
j
i
(x) обозначают i-тые компоненты Φ
j
(x) и Ψ
j
(x)
соответственно.
Заметим, что все перечисленные выше свойства, за исключением
свойства конуса, предполагают, что область Ω располагается только с
одной стороны границы. Так, например, двумерная область
Ω = {(x, y) ∈ R
2
| 0 < |x| < 1, 0 < y < 1 }
обладает из выше перечисленных только свойством конуса.
Нетрудно убедиться в том, что имеет место следующая цепочка им-
пликаций: равномерная C
m
-регулярность (m > 1) ⇒ сильное локальное
свойство Липшица ⇒ равномерное свойство конуса ⇒ свойство сегмента.
В большинстве доказанных в этой главе теорем вложения предпо-
лагается, что область Ω обладает лишь свойством конуса, лишь иногда
требуется большая гладкость. Это достигается за счет следующего весь-
ма тонкого результата геометрического характера.
Теорема 3.1. ( Гальярдо [7]). Область Ω, обладающая свойством
конуса, может быть представлена в виде объединения конечного числа
своих подмножеств:
Ω =
ℵ
[
j=1
Ω
j
, Ω
j
⊂ Ω, (1.1)
каждое из которых имеет вид
Ω
j
=
[
x∈A
j
(x + P
j
),
(1.2)
где A
j
— некоторое подмножество из Ω, P
j
— открытый параллеле-
пипед с вершиной в нуле. В случае ограниченной области Ω для любого
ρ > 0 можно построить разбиение области Ω вида (1.1)–(1.2) такое,
§ 1. Геометрические свойства областей                                           41


    3) Φj (Uj ∩ Ω) = {y ∈ B | yn > 0} для каждого j;
    4) существует число М такое, что для всех i, 1 6 i 6 n, для всех
    α, |α| 6 m, и для каждого j справедливы оценки

       | Dα Φji (x) | 6 M,    x ∈ Uj ,         | Dα Ψji (y) | 6 M,   y ∈ B,

    здесь Φji (x) и Ψji (x) обозначают i-тые компоненты Φj (x) и Ψj (x)
    соответственно.
   Заметим, что все перечисленные выше свойства, за исключением
свойства конуса, предполагают, что область Ω располагается только с
одной стороны границы. Так, например, двумерная область

                Ω = { (x, y) ∈ R2 | 0 < |x| < 1, 0 < y < 1 }

обладает из выше перечисленных только свойством конуса.
   Нетрудно убедиться в том, что имеет место следующая цепочка им-
пликаций: равномерная C m -регулярность (m > 1) ⇒ сильное локальное
свойство Липшица ⇒ равномерное свойство конуса ⇒ свойство сегмента.
   В большинстве доказанных в этой главе теорем вложения предпо-
лагается, что область Ω обладает лишь свойством конуса, лишь иногда
требуется большая гладкость. Это достигается за счет следующего весь-
ма тонкого результата геометрического характера.
    Теорема 3.1. ( Гальярдо [7]). Область Ω, обладающая свойством
конуса, может быть представлена в виде объединения конечного числа
своих подмножеств:
                                 ℵ
                                 [
                          Ω =         Ωj ,       Ωj ⊂ Ω,                      (1.1)
                                j=1

каждое из которых имеет вид
                                        [
                              Ωj =           (x + Pj ),                       (1.2)
                                      x∈Aj


где Aj — некоторое подмножество из Ω, Pj — открытый параллеле-
пипед с вершиной в нуле. В случае ограниченной области Ω для любого
ρ > 0 можно построить разбиение области Ω вида (1.1)–(1.2) такое,

Страницы