Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

42 Глава 3. Теоремы вложения
что diam(A
j
) 6 ρ. При этом, если ρ достаточно мало, то каждое Ω
j
будет обладать сильным локальным свойством Липшица.
Доказательство. Так как область Ω обладает свойством конуса, то
найдется конечный конус C
0
с вершиной в нуле такой, что в любой точке
x ∈ Ω будет существовать конус C
x
, конгруэнтный C
0
, с вершиной в x и
принадлежащий Ω.
Докажем сначала существование конечных конусов C
1
, . . . , C
k
с вер-
шинами в нуле таких, что для каждой точки x ∈ Ω найдется номер
j
∗
∈ {1, . . . , k}, при котором (x + C
j
∗
) ⊂ Ω, то есть в любой точке x ∈ Ω
может быть построен конечный конус, принадлежащий Ω и полученный
только параллельным переносом одного из конусов конечного набора
C
1
, . . . , C
k
. Для этого, очевидно, достаточно установить существование
конечных конусов C
1
, . . . , C
k
с вершинами в нуле таких, что любой конус,
с вершиной в нуле и конгруэнтный C
0
, будет содержать один из конусов
C
j
, 1 6 j 6 k. Доказательство этого факта для простоты и наглядности
изложения приведем при n = 2. Пусть α — угол при вершине конуса C
0
,
выберем угол α
1
< α/2, обозначим через k целое число, строго большее
2π/α
1
. Пусть S(0 , ε) — круг радиуса ε с центром в нуле. Разобьем его на
k конечных конусов C
1
, . . . , C
k
с вершиной в нуле и углом при вершине
равным α
1
так, чтобы S(0, ε) =
k
S
j=1
C
j
. Параметр ε выберем меньше вы-
соты конуса C
0
. Ясно, что набор конусов C
1
, . . . , C
k
решает нашу задачу
при n = 2. В общем случае рассуждения аналогичны.
Далее для каждого C
j
построим открытый параллелепипед P
j
с вер-
шиной в нуле так, чтобы P
j
⊂ C
j
и P
j
∩∂C
j
= {0}. Очевидно, для любого
x ∈ Ω найдется номер j, 1 6 j 6 k, такой, что
x + P
j
⊂ x + C
j
⊂ C
x
⊂ Ω.
Так как x ∈ Ω, а x + P
j
— компакт, содержащийся в (x + C
j
)
S
{x}, и,
следовательно, в Ω, то y + P
j
⊂ Ω для всех y, достаточно близких к x.
Поэтому для каждого x ∈ Ω найдется y ∈ Ω и соответствующий номер
j такие, что x ∈ y + P
j
. Пусть
A
j
= {x ∈ Ω | x + P
j
⊂ Ω},
42                                                  Глава 3. Теоремы вложения


что diam(Aj ) 6 ρ. При этом, если ρ достаточно мало, то каждое Ωj
будет обладать сильным локальным свойством Липшица.
     Доказательство. Так как область Ω обладает свойством конуса, то
найдется конечный конус C0 с вершиной в нуле такой, что в любой точке
x ∈ Ω будет существовать конус Cx , конгруэнтный C0 , с вершиной в x и
принадлежащий Ω.
     Докажем сначала существование конечных конусов C1 , . . . , Ck с вер-
шинами в нуле таких, что для каждой точки x ∈ Ω найдется номер
j ∗ ∈ {1, . . . , k}, при котором (x + Cj ∗ ) ⊂ Ω, то есть в любой точке x ∈ Ω
может быть построен конечный конус, принадлежащий Ω и полученный
только параллельным переносом одного из конусов конечного набора
C1 , . . . , Ck . Для этого, очевидно, достаточно установить существование
конечных конусов C1 , . . . , Ck с вершинами в нуле таких, что любой конус,
с вершиной в нуле и конгруэнтный C0 , будет содержать один из конусов
Cj , 1 6 j 6 k. Доказательство этого факта для простоты и наглядности
изложения приведем при n = 2. Пусть α — угол при вершине конуса C0 ,
выберем угол α1 < α/2, обозначим через k целое число, строго большее
2π/α1 . Пусть S(0, ε) — круг радиуса ε с центром в нуле. Разобьем его на
k конечных конусов C1 , . . . , Ck с вершиной в нуле и углом при вершине
                                      S
                                      k
равным α1 так, чтобы S(0, ε) =          C j . Параметр ε выберем меньше вы-
                                  j=1
соты конуса C0 . Ясно, что набор конусов C1 , . . . , Ck решает нашу задачу
при n = 2. В общем случае рассуждения аналогичны.
   Далее для каждого Cj построим открытый параллелепипед Pj с вер-
шиной в нуле так, чтобы Pj ⊂ Cj и P j ∩∂Cj = {0}. Очевидно, для любого
x ∈ Ω найдется номер j, 1 6 j 6 k, такой, что

                       x + Pj ⊂ x + Cj ⊂ Cx ⊂ Ω.
                                                            S
Так как x ∈ Ω, а x + Pj — компакт, содержащийся в (x + Cj ) {x}, и,
следовательно, в Ω, то y + Pj ⊂ Ω для всех y, достаточно близких к x.
Поэтому для каждого x ∈ Ω найдется y ∈ Ω и соответствующий номер
j такие, что x ∈ y + Pj . Пусть

                        Aj = {x ∈ Ω | x + Pj ⊂ Ω},

Страницы