Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

40 Глава 3. Теоремы вложения
числа δ и M, а также локально конечное открытое покрытие {U
j
} мно-
жества ∂Ω, для которых выполнены следующие условия:
1) найдется конечное R такое, что любой набор множеств U
j
, число
которых больше R, имеет пустое пересечение;
2) для каждой пары точек x, y ∈ Ω
δ
таких, что |x − y| < δ, суще-
ствует j со свойством
x, y ∈ V
j
= {x
0
∈ U
j
| dist(x
0
, ∂U
j
) > δ};
3) для каждого U
j
существуют функция (n − 1)-ого вещественного
аргумента f
j
и декартова система координат (ξ
j
1
, . . . , ξ
j
n
) такие, что
множество Ω ∩Uj представляется неравенством
ξ
j
n
< f
j
(ξ
j
1
, . . . , ξ
j
n−1
),
и при любых ξ и η из Ω∩U
j
для функции f
j
имеет место следующая
оценка
|f
j
(ξ
0
) − f
j
(η
0
)| 6 M |ξ
0
− η
0
|,
где ξ
0
= (ξ
j
1
, . . . , ξ
j
n−1
), η
0
= (η
j
1
, . . . , η
j
n−1
).
Заметим, что в случае ограниченных областей для выполнения силь-
ного локального свойства Липшица достаточно существования в каждой
точке x ∈ ∂Ω окрестности U
x
такой, что ∂Ω ∩ U
x
есть график липшиц-
непрерывной функции.
Определение 3.5. Будем говорить, что область Ω обладает свой-
ством равномерной C
m
-регулярности, если существуют локально конеч-
ное открытое покрытие {U
j
} множества ∂Ω и для каждого U
j
взаимно
однозначная m-гладкая функция Φ
j
, отображающая U
j
на множество
B = {y ∈ R
n
| |y| < 1},
для которых выполнены следующие условия:
1) найдется δ > 0, при котором
∞
S
j=1
Ψ
j
( {y ∈ R
n
| |y| < 1/2}) ⊃ Ω
δ
,
здесь Ψ
j
= Φ
−1
j
;
2) найдется конечное R такое, что любой набор множеств U
j
, число
которых больше R, имеет пустое пересечение;
40                                                                     Глава 3. Теоремы вложения


числа δ и M, а также локально конечное открытое покрытие {Uj } мно-
жества ∂Ω, для которых выполнены следующие условия:
   1) найдется конечное R такое, что любой набор множеств Uj , число
   которых больше R, имеет пустое пересечение;
   2) для каждой пары точек x, y ∈ Ωδ таких, что |x − y| < δ, суще-
   ствует j со свойством

                       x, y ∈ Vj = {x0 ∈ Uj | dist(x0 , ∂Uj ) > δ};

     3) для каждого Uj существуют функция (n − 1)-ого вещественного
     аргумента fj и декартова система координат (ξj1 , . . . , ξjn ) такие, что
     множество Ω ∩ U j представляется неравенством

                                    ξjn < fj (ξj1 , . . . , ξjn−1 ),

     и при любых ξ и η из Ω ∩ Uj для функции fj имеет место следующая
     оценка
                    |fj (ξ 0 ) − fj (η 0 )| 6 M |ξ 0 − η 0 | ,
     где ξ 0 = (ξj1 , . . . , ξjn−1 ), η 0 = (ηj1 , . . . , ηjn−1 ).
   Заметим, что в случае ограниченных областей для выполнения силь-
ного локального свойства Липшица достаточно существования в каждой
точке x ∈ ∂Ω окрестности Ux такой, что ∂Ω ∩ Ux есть график липшиц-
непрерывной функции.
    Определение 3.5. Будем говорить, что область Ω обладает свой-
ством равномерной C m -регулярности, если существуют локально конеч-
ное открытое покрытие {Uj } множества ∂Ω и для каждого Uj взаимно
однозначная m-гладкая функция Φj , отображающая Uj на множество

                                   B = {y ∈ Rn | |y| < 1},

для которых выполнены следующие условия:
                                  S
                                  ∞
   1) найдется δ > 0, при котором   Ψj ( {y ∈ Rn | |y| < 1/2} ) ⊃ Ωδ ,
                                                    j=1
     здесь Ψj =        Φ−1
                        j ;
     2) найдется конечное R такое, что любой набор множеств Uj , число
     которых больше R, имеет пустое пересечение;

Страницы