Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3
Теоремы вложения
§ 1. Геометрические свойства областей
Многие свойства соболевских пространств зависят от области Ω. Так,
при доказательстве теорем вложения существенно используются регу-
лярность Ω, которая обычно формулируется в терминах геометрических
условий. В этом параграфе мы определим пять таких свойств и укажем
взаимосвязь между ними.
Сначала введем используемые в дальнейшем обозначения. Пусть
x ∈ R
n
, B
1
— открытый шар с центром в x, B
2
— открытый шар, не
содержащий x. Будем называть множество
C
x
= B
1
∩
©
x + λ(y − x)
¯
¯
y ∈ B
2
, λ > 0
ª
конечным конусом в R
n
с вершиной в точке x. Конечный конус с вер-
шиной в x, полученный параллельным переносом конечного конуса C
0
с
вершиной в нуле, будем обозначать через x + C
0
= {x + y|y ∈ C
0
}.
Далее, пусть y
1
, y
2
, . . . , y
n
∈ R
n
— линейно независимые векторы.
Будем обозначать символом P параллелепипед, построенный по векто-
рам y
1
, y
2
, . . . , y
n
, с вершиной в начале координат:
P =
½
n
X
j=1
λ
j
y
j
¯
¯
¯
¯
0 < λ
j
< 1, 1 6 j 6 n
¾
.
Соответственно, x + P — параллелепипед с вершиной в точке x, полу-
ченный параллельным переносом параллелепипеда P. Будем называть
точку c(x + P ) = x + (y
1
+ y
2
+ . . . + y
n
)/2 центром параллелепипеда
x + P . Ясно, что каждый параллелепипед с вершиной в точке x со-
держит некоторый конечный конус с вершиной в точке x, и наоборот,
найдется конечный конус с вершиной в точке x, содержащий параллеле-
пипед x + P .
                               Глава 3
                       Теоремы вложения


             § 1. Геометрические свойства областей

    Многие свойства соболевских пространств зависят от области Ω. Так,
при доказательстве теорем вложения существенно используются регу-
лярность Ω, которая обычно формулируется в терминах геометрических
условий. В этом параграфе мы определим пять таких свойств и укажем
взаимосвязь между ними.
    Сначала введем используемые в дальнейшем обозначения. Пусть
x ∈ Rn , B1 — открытый шар с центром в x, B2 — открытый шар, не
содержащий x. Будем называть множество
                          ©            ¯             ª
              Cx = B1 ∩ x + λ(y − x) ¯ y ∈ B2 , λ > 0

конечным конусом в Rn с вершиной в точке x. Конечный конус с вер-
шиной в x, полученный параллельным переносом конечного конуса C0 с
вершиной в нуле, будем обозначать через x + C0 = {x + y| y ∈ C0 }.
   Далее, пусть y1 , y2 , . . . , yn ∈ Rn — линейно независимые векторы.
Будем обозначать символом P параллелепипед, построенный по векто-
рам y1 , y2 , . . . , yn , с вершиной в начале координат:
                              ½Xn        ¯                      ¾
                                         ¯
                       P =        λj yj ¯¯ 0 < λj < 1, 1 6 j 6 n .
                      j=1

Соответственно, x + P — параллелепипед с вершиной в точке x, полу-
ченный параллельным переносом параллелепипеда P. Будем называть
точку c(x + P ) = x + (y1 + y2 + . . . + yn )/2 центром параллелепипеда
x + P . Ясно, что каждый параллелепипед с вершиной в точке x со-
держит некоторый конечный конус с вершиной в точке x, и наоборот,
найдется конечный конус с вершиной в точке x, содержащий параллеле-
пипед x + P .

Страницы