Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

36 Глава 2. Пространства Соболева целого порядка
пусть ϕ
j
, ψ
j
— компоненты отображений Φ и Ψ, то есть равенства
y = Φ(x) и x = Ψ(y) в покоординатной записи имеют вид
y
j
= ϕ
j
(x), x
k
= ψ
k
(y), j, k = 1, . . . , n.
Отображение Φ будем называть m-гладким, если все компоненты ϕ
j
при-
надлежат C
m
(Ω) и все компоненты ψ
j
∈ C
m
(G).
Если u измеримая функция на Ω, то определим измеримую функцию
на G равенством
Au(y) = u(Ψ(y)). (4.1)
Для 1-гладкого отображения Φ, как известно, существуют константы
c
1
, c
2
> 0 такие, что
c
1
6 |det Φ
0
(x)| 6 c
2
∀x ∈ Ω,
где Φ
0
(x) = ∂(y
1
, . . . , y
n
)/∂(x
1
, . . . , x
n
) — матрица Якоби отображения Φ.
Тогда линейный оператор A определяемый формулой (4.1) непрерывен
из L
p
(Ω) в L
p
(G) и
c
1/p
1
kuk
p,Ω
6 kAuk
p,G
6 c
1/p
2
kuk
p,Ω
.
Теорема 2.7. Если Φ — m-гладкое отображение, m > 1, то опе-
ратор A является непрерывным оператором из W
m
p
(Ω) на W
m
p
(G), и
существует непрерывный обратный оператор A
−1
.
Доказательство. Убедимся сначала в справедливости неравенства
kAuk
m,p,G
6 c kuk
m,p,Ω
∀u ∈ W
m
p
(Ω). (4.2)
По теореме 2.5 для произвольной функции u ∈ W
m
p
(Ω) существует
последовательность {u
k
} функций из C
∞
(Ω), сходящаяся в W
m
p
(Ω) к
u. Для функций u
k
по правилу дифференцирования сложной функции
можно записать для производных порядка |α| 6 m
D
α
(Au
k
)(y) =
X
16|β|6|α|
M
αβ
(y)(AD
β
u
k
)(y), (4.3)
36                                 Глава 2. Пространства Соболева целого порядка


пусть ϕj , ψj — компоненты отображений Φ и Ψ, то есть равенства
y = Φ(x) и x = Ψ(y) в покоординатной записи имеют вид

                yj = ϕj (x),   xk = ψk (y),       j, k = 1, . . . , n.

Отображение Φ будем называть m-гладким, если все компоненты ϕj при-
надлежат C m (Ω) и все компоненты ψj ∈ C m (G).
   Если u измеримая функция на Ω, то определим измеримую функцию
на G равенством
                        Au(y) = u(Ψ(y)).                     (4.1)
Для 1-гладкого отображения Φ, как известно, существуют константы
c1 , c2 > 0 такие, что

                        c1 6 | det Φ0 (x)| 6 c2 ∀x ∈ Ω,

где Φ0 (x) = ∂(y1 , . . . , yn )/∂(x1 , . . . , xn ) — матрица Якоби отображения Φ.
Тогда линейный оператор A определяемый формулой (4.1) непрерывен
из Lp (Ω) в Lp (G) и
                       1/p                        1/p
                      c1 kukp,Ω 6 kAukp,G 6 c2 kukp,Ω .



   Теорема 2.7. Если Φ — m-гладкое отображение, m > 1, то опе-
ратор A является непрерывным оператором из Wpm (Ω) на Wpm (G), и
существует непрерывный обратный оператор A−1 .
     Доказательство. Убедимся сначала в справедливости неравенства

                  kAukm,p,G 6 c kukm,p,Ω         ∀u ∈ Wpm (Ω).               (4.2)

    По теореме 2.5 для произвольной функции u ∈ Wpm (Ω) существует
последовательность {uk } функций из C ∞ (Ω), сходящаяся в Wpm (Ω) к
u. Для функций uk по правилу дифференцирования сложной функции
можно записать для производных порядка |α| 6 m
                              X
              Dα (Auk )(y) =       Mαβ (y)(ADβ uk )(y),        (4.3)
                                  16|β|6|α|

Страницы