Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Преобразование координат 35
множества
e
U
j
⊂⊂ U
j
такие, что K ⊂
S
06j6k
e
U
j
. Пусть множество Ψ яв-
ляется C
∞
-разбиением единицы для K, подчиненным покрытию {
e
U
j
}, и
пусть ψ
j
обозначает сумму конечного множества функций ψ ∈ Ψ, носи-
тели которых лежат в
e
U
j
. Предположим, что для каждого j существует
функция ϕ
j
∈ C
∞
0
(R
n
) такая, что
kψ
j
u − ϕ
j
k
m,p,Ω
<
ε
k + 1
. (3.1)
Тогда для ϕ =
P
ϕ
j
ku − ϕk
m,p,Ω
6
X
06j6k
kψ
j
u − ϕ
j
k
m,p,Ω
< ε.
Функцию ϕ
0
∈ C
∞
0
(R
n
), удовлетворяющую (3.1), можно найти в силу
леммы 2.1. Осталось, таким образом, построить функции ϕ
j
∈ C
∞
0
(R
n
)
для 1 6 j 6 k со свойством (3.1).
Для фиксированного j продолжим функцию u
j
= ψ
j
u нулем вне Ω.
Тогда u
j
∈ W
m
p
(R
n
\ Γ), где Γ =
e
U
j
T
∂Ω. Пусть y — ненулевой вектор,
соответствующий множеству U
j
в определении свойства сегмента, а
Γ
t
= Γ − ty, 0 < t < min
µ
1,
dist(
e
U
j
, R
n
\ U
j
)
|y|
.
Тогда Γ
t
⊂ U
j
и Γ
t
T
Ω = ∅ по свойству сегмента. Рассмотрим функции
u
j,t
(x) = u
j
(x+ty). Ясно, что u
j,t
∈ W
m
p
(R
n
\Γ
t
) и D
α
u
j,t
→ D
α
u
j
в L
p
(Ω),
если t → 0+, |α| 6 m. Таким образом, u
j,t
→ u
j
при t → 0+ в W
m
p
(Ω),
и потому достаточно найти ϕ
j
∈ C
∞
0
(R
n
) такую, что kϕ
j
− u
j,t
k
m,p
мало.
Поскольку Ω ∩ U
j
⊂⊂ R
n
\ Γ
t
, то по лемме 2.1 этим свойством обладает
функция ϕ
j
= J
δ
∗ u
j,t
при малом δ > 0. Теорема доказана.
Следствие 2.2.
◦
W
m
p
(R
n
) = W
m
p
(R
n
), 1 6 p < ∞.
§ 4. Преобразование координат
Определение 2.4. Пусть Φ является взаимнооднозначным преоб-
разованием области Ω ⊂ R
n
на область G ⊂ R
n
с обратным Ψ = Φ
−1
,
§ 4. Преобразование координат                                                35


          ej ⊂⊂ Uj такие, что K ⊂               S e
множества U                                       Uj . Пусть множество Ψ яв-
                                               06j6k
ляется C ∞ -разбиением единицы для K, подчиненным покрытию {U   ej }, и
пусть ψj обозначает сумму конечного множества функций ψ ∈ Ψ, носи-
тели которых лежат в U ej . Предположим, что для каждого j существует
функция ϕj ∈ C0∞ (Rn ) такая, что
                                                   ε
                            kψj u − ϕj km,p,Ω <       .                    (3.1)
                                                  k+1
                   P
Тогда для ϕ =          ϕj
                                    X
                   ku − ϕkm,p,Ω 6           kψj u − ϕj km,p,Ω < ε.
                                    06j6k

Функцию ϕ0 ∈ C0∞ (Rn ), удовлетворяющую (3.1), можно найти в силу
леммы 2.1. Осталось, таким образом, построить функции ϕj ∈ C0∞ (Rn )
для 1 6 j 6 k со свойством (3.1).
   Для фиксированного j продолжим функцию uj = ψj u нулем вне Ω.
Тогда uj ∈ W m (Rn \ Γ), где Γ = Uej T ∂Ω. Пусть y — ненулевой вектор,
               p
соответствующий множеству Uj в определении свойства сегмента, а
                                           µ          ej , Rn \ Uj ) ¶
                                                dist(U
           Γt = Γ − ty,       0 < t < min 1,                           .
                                                         |y|
                      T
Тогда Γt ⊂ Uj и Γt Ω = ∅ по свойству сегмента. Рассмотрим функции
uj,t (x) = uj (x+ty). Ясно, что uj,t ∈ Wpm (Rn \Γt ) и Dα uj,t → Dα uj в Lp (Ω),
если t → 0+, |α| 6 m. Таким образом, uj,t → uj при t → 0+ в Wpm (Ω),
и потому достаточно найти ϕj ∈ C0∞ (Rn ) такую, что kϕj − uj,t km,p мало.
Поскольку Ω ∩ Uj ⊂⊂ Rn \ Γt , то по лемме 2.1 этим свойством обладает
функция ϕj = Jδ ∗ uj,t при малом δ > 0. Теорема доказана.
                            ◦
    Следствие 2.2. Wpm (Rn ) = Wpm (Rn ), 1 6 p < ∞.

                       § 4. Преобразование координат

   Определение 2.4. Пусть Φ является взаимнооднозначным преоб-
разованием области Ω ⊂ Rn на область G ⊂ Rn с обратным Ψ = Φ−1 ,

Страницы