Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Аппроксимация гладкими функциями 33
произвольной функции ϕ ∈ C
1
(Ω) ⊃ C
∞
(Ω) имеем оценку для разно-
сти производных ku
0
− ϕ
0
k
∞
> 1. Действительно, в нуле производные
u
0
(x) и ϕ
0
(x) имеют односторонние пределы. Поэтому, если ϕ
0
(0) > 0, то
|u
0
(x) − ϕ
0
(x)| > 1 в левой полуокрестности нуля, а, если ϕ
0
(0) 6 0, то
|u
0
(x) − ϕ
0
(x)| > 1 в правой полуокрестности нуля.
§ 3. Аппроксимация гладкими функциями
В теореме 2.5 фактически утверждается, что множество функций
C
∞
(Ω) ∩ W
m
p
(Ω) плотно в W
m
p
(Ω) при p < ∞. Можно ли в этом утвер-
ждении заменить C
∞
(Ω) на более узкий класс C
∞
(Ω)? Ответ на этот
вопрос существенно зависит от свойств области Ω, и в общем случае от-
рицателен, как показывает следующий простой пример.
Пусть Ω = ( −1, 1) \ {0}. Покажем, что C
1
(Ω) = C
1
[−1, 1] не плотно
в W
1
p
(Ω). Если это не так, то для функции u(x) = sign(x) найдется по-
следовательность u
k
∈ C
1
[−1, 1], сходящаяся к u в W
1
p
(Ω). Из непрерыв-
ности функций u
k
и их производных в нуле вытекает, что эта последова-
тельность является фундаментальной в пространстве W
1
p
(−1, 1). Пусть
функция eu ∈ W
1
p
(−1, 1) — предел последовательности {u
k
} в простран-
стве W
1
p
(−1, 1). Очевидно, что ku
k
−euk
p
W
1
p
(Ω)
= ku
k
−euk
p
W
1
p
(−1,1)
, поэтому
eu(x) = sign(x) почти всюду на Ω, и, следовательно, функция sign(x)
имеет слабую производную из L
p
(−1, 1). С другой стороны, в примере
2.6 показано, что слабая производная функции sign(x) равна 2 δ(x). По-
лученное противоречие доказывает неверность нашего предположения.
Аналогичные контрпримеры можно построить и в многомерном случае.
Например, для прямоугольника с разрезом:
Ω = {x ∈ R
2
| 0 < |x
1
| < 1, 0 < x
2
< 1}
функцию u(x) = sign( x
1
), принадлежащую любому классу W
m
p
(Ω), нель-
зя приблизить гладкими функциями в Ω = [−1, 1] × [0, 1] в метрике
пространства W
1
p
(Ω). Существенным моментом является то, что в этих
примерах область лежит "по обе стороны" от некоторой части своей гра-
ницы. Достаточно широкий класс областей, определяемый ниже, исклю-
§ 3. Аппроксимация гладкими функциями                                         33


произвольной функции ϕ ∈ C 1 (Ω) ⊃ C ∞ (Ω) имеем оценку для разно-
сти производных ku0 − ϕ0 k∞ > 1. Действительно, в нуле производные
u0 (x) и ϕ0 (x) имеют односторонние пределы. Поэтому, если ϕ0 (0) > 0, то
|u0 (x) − ϕ0 (x)| > 1 в левой полуокрестности нуля, а, если ϕ0 (0) 6 0, то
|u0 (x) − ϕ0 (x)| > 1 в правой полуокрестности нуля.

             § 3. Аппроксимация гладкими функциями

    В теореме 2.5 фактически утверждается, что множество функций
C ∞ (Ω) ∩ Wpm (Ω) плотно в Wpm (Ω) при p < ∞. Можно ли в этом утвер-
ждении заменить C ∞ (Ω) на более узкий класс C ∞ (Ω)? Ответ на этот
вопрос существенно зависит от свойств области Ω, и в общем случае от-
рицателен, как показывает следующий простой пример.
    Пусть Ω = (−1, 1) \ {0}. Покажем, что C 1 (Ω) = C 1 [−1, 1] не плотно
в Wp1 (Ω). Если это не так, то для функции u(x) = sign(x) найдется по-
следовательность uk ∈ C 1 [−1, 1], сходящаяся к u в Wp1 (Ω). Из непрерыв-
ности функций uk и их производных в нуле вытекает, что эта последова-
тельность является фундаментальной в пространстве Wp1 (−1, 1). Пусть
функция u  e ∈ Wp1 (−1, 1) — предел последовательности {uk } в простран-
стве Wp1 (−1, 1). Очевидно, что kuk − uekpW 1 (Ω) = kuk − u
                                                          ekpW 1 (−1,1) , поэтому
                                           p                  p
u
e(x) = sign(x) почти всюду на Ω, и, следовательно, функция sign(x)
имеет слабую производную из Lp (−1, 1). С другой стороны, в примере
2.6 показано, что слабая производная функции sign(x) равна 2 δ(x). По-
лученное противоречие доказывает неверность нашего предположения.
Аналогичные контрпримеры можно построить и в многомерном случае.
Например, для прямоугольника с разрезом:

                  Ω = {x ∈ R2 | 0 < |x1 | < 1, 0 < x2 < 1}

функцию u(x) = sign(x1 ), принадлежащую любому классу Wpm (Ω), нель-
зя приблизить гладкими функциями в Ω = [−1, 1] × [0, 1] в метрике
пространства Wp1 (Ω). Существенным моментом является то, что в этих
примерах область лежит "по обе стороны" от некоторой части своей гра-
ницы. Достаточно широкий класс областей, определяемый ниже, исклю-

Страницы