Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

34 Глава 2. Пространства Соболева целого порядка
чает подобную ситуацию, и для таких областей будет доказана плотность
C
∞
(Ω) ∩W
m
p
(Ω) в W
m
p
(Ω).
Будем говорить, что область Ω обладает свойством сегмента, если
для каждой точки x ∈ ∂Ω существуют ее окрестность U
x
и ненулевой
вектор y
x
такие, что, если z ∈ Ω ∩ U
x
, то z + ty
x
∈ Ω при 0 < t < 1.
Свойство сегмента предполагает некоторую гладкость границы. Так, на-
пример, если в каждой точке ∂Ω существует вектор внутренней нормали
ν(x), то область Ω будет удовлетворять свойству сегмента, поскольку в
качестве y
x
можно выбрать вектор ε ν(x) с малым значением парамет-
ра ε.
Теорема 2.6. Если Ω удовлетворяет свойству сегмента, то мно-
жество сужений на Ω функций из C
∞
0
(R
n
) плотно в W
m
p
(Ω) для
1 6 p < ∞.
Доказательство. Пусть f — функция из C
∞
0
(R
n
) такая, что f(x) = 1
при |x| 6 1, и f(x) = 0 при |x| > 2. Положим f
ε
(x) = f(εx), 0 < ε 6 1.
Тогда f
ε
(x) = 1, если |x| 6 1/ε, и |D
α
f
ε
(x)| 6 cε
|α|
6 c для всех |α | 6 m
и x ∈ R
n
, где c — некоторая константа. Если u ∈ W
m
p
(Ω), то, очевидно,
функция u
ε
= f
ε
u ∈ W
m
p
(Ω) имеет компактный носитель, и
|D
α
u
ε
| 6 c
1
X
β6α
|D
β
u(x)|.
Полагая Ω
ε
= {x ∈ Ω : |x| > 1/ε}, будем иметь при ε → 0
ku −u
ε
k
m,p,Ω
= ku − u
ε
k
m,p,Ω
ε
6 kuk
m,p,Ω
ε
+ ku
ε
k
m,p,Ω
ε
6 c
2
kuk
m,p,Ω
ε
→ 0.
Таким образом, любая функция класса W
m
p
(Ω) может быть аппрокси-
мирована в норме этого пространства функциями с компактными в R
n
носителями.
Итак, пусть u ∈ W
m
p
(Ω) и K = supp u — компакт. Тогда множество
F = K \(
S
x∈∂Ω
U
x
) также компактно и содержится в Ω, где U
x
— окрестно-
сти, фигурирующие в определении области со свойством сегмента. По-
этому существует открытое множество U
0
такое, что F ⊂⊂ U
0
⊂⊂ Ω.
Из семейства {U
x
} можно выбрать конечное подсемейство U
1
, U
2
, . . . , U
k
такое, что K ⊂ U
0
S
U
1
S
. . .
S
U
k
. Более того, существуют открытые
34                               Глава 2. Пространства Соболева целого порядка


чает подобную ситуацию, и для таких областей будет доказана плотность
C ∞ (Ω) ∩ Wpm (Ω) в Wpm (Ω).
    Будем говорить, что область Ω обладает свойством сегмента, если
для каждой точки x ∈ ∂Ω существуют ее окрестность Ux и ненулевой
вектор yx такие, что, если z ∈ Ω ∩ Ux , то z + tyx ∈ Ω при 0 < t < 1.
Свойство сегмента предполагает некоторую гладкость границы. Так, на-
пример, если в каждой точке ∂Ω существует вектор внутренней нормали
ν(x), то область Ω будет удовлетворять свойству сегмента, поскольку в
качестве yx можно выбрать вектор ε ν(x) с малым значением парамет-
ра ε.
   Теорема 2.6. Если Ω удовлетворяет свойству сегмента, то мно-
жество сужений на Ω функций из C0∞ (Rn ) плотно в Wpm (Ω) для
1 6 p < ∞.
   Доказательство. Пусть f — функция из C0∞ (Rn ) такая, что f (x) = 1
при |x| 6 1, и f (x) = 0 при |x| > 2. Положим fε (x) = f (εx), 0 < ε 6 1.
Тогда fε (x) = 1, если |x| 6 1/ε, и |Dα fε (x)| 6 cε|α| 6 c для всех |α| 6 m
и x ∈ Rn , где c — некоторая константа. Если u ∈ Wpm (Ω), то, очевидно,
функция uε = fε u ∈ Wpm (Ω) имеет компактный носитель, и
                                      X
                            α
                         |D uε | 6 c1    |Dβ u(x)|.
                                      β6α

Полагая Ωε = {x ∈ Ω : |x| > 1/ε}, будем иметь при ε → 0

ku − uε km,p,Ω = ku − uε km,p,Ωε 6 kukm,p,Ωε + kuε km,p,Ωε 6 c2 kukm,p,Ωε → 0.

Таким образом, любая функция класса Wpm (Ω) может быть аппрокси-
мирована в норме этого пространства функциями с компактными в Rn
носителями.
   Итак, пусть u ∈ Wpm (Ω) и K = supp u — компакт. Тогда множество
         S
F = K \(    Ux ) также компактно и содержится в Ω, где Ux — окрестно-
         x∈∂Ω
сти, фигурирующие в определении области со свойством сегмента. По-
этому существует открытое множество U0 такое, что F ⊂⊂ U0 ⊂⊂ Ω.
Из семейства {Ux } можно выбрать конечное подсемейство U1 , U2 , . . . , Uk
                    S S S
такое, что K ⊂ U0 U1 . . . Uk . Более того, существуют открытые

Страницы