Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

32 Глава 2. Пространства Соболева целого порядка
Тогда семейство открытых множеств O = {U
k
}
∞
k=1
, U
k
= Ω
k+1
∩ (Ω
k−1
)
c
,
является покрытием области Ω. По теореме 1.1 существует C
∞
-разбиение
единицы Ψ для Ω, подчиненное O. Определим следующие множества
функций:
Φ
k
= {ψ ∈ Ψ | supp ψ ⊂ U
k
}, k = 1, ∞,
Ψ
1
= Φ
1
, Ψ
k+1
= Φ
k+1
\
µ
[
j6k
Ψ
j
.
Ясно, что Ψ =
S
k
Ψ
k
и Ψ
k
T
Ψ
j
= ∅ при k 6= j. Пусть ψ
k
(x) =
P
ψ∈Ψ
k
ψ(x).
Тогда ψ
k
∈ C
∞
0
(U
k
) и
∞
P
k=1
ψ
k
(x) = 1 на Ω.
Для δ > 0 носитель функции J
δ
∗(ψ
k
u) содержится в U
k
+O
δ
. Поэтому
при δ < 1/(k + 1)(k + 2) для любых x ∈ U
k
, y ∈ O
δ
будем иметь
|x + y| > |x|−|y| > 1/(k + 1) − δ > 1/(k + 2) .
Это означает, что U
k
+ O
δ
⊂ V
k
= Ω
k+2
T
(Ω
k−2
)
c
. Следовательно,
supp J
δ
∗ (ψ
k
u) ⊂ V
k
⊂⊂ Ω. Поскольку ψ
k
u ∈ W
m
p
(Ω), по лемме 2.1
мы можем выбрать δ
k
< 1/(k + 1)(k + 2) так, что
kJ
δ
k
∗ (ψ
k
u) − ψ
k
uk
m,p,Ω
= kJ
δ
k
∗ (ψ
k
u) − ψ
k
uk
m,p,V
k
<
ε
2
k
.
Пусть ϕ =
∞
P
k=1
J
δ
k
∗ (ψ
k
u). Заметим, что, если G ⊂⊂ Ω, то лишь ко-
нечное число слагаемых в этой сумме отлично от нуля на G. Сле-
довательно, ϕ принадлежит C
∞
(Ω). Для x ∈ Ω мы можем записать
u(x) =
∞
P
j=1
ψ
j
(x)u(x). Поэтому
ku − ϕk
m,p,Ω
6
∞
X
j=1
°
°
J
δ
j
∗ (ψ
j
u) − ψ
j
u
°
°
m,p,Ω
<
∞
X
j=1
ε
2
j
= ε.
Итак, для произвольной u ∈ W
m
p
(Ω) и любого ε > 0 существует функция
ϕ ∈ C
∞
(Ω) такая, что ku − ϕk
m,p,Ω
< ε. Теорема доказана.
В заключение этого раздела покажем, что теорема 2.5 неверна при
p = ∞. Например, функция u(x) = |x| на интервале Ω = (−1, 1) при-
надлежит пространству W
1
∞
(Ω), но не принадлежит H
1
∞
(Ω), так как для
32                                     Глава 2. Пространства Соболева целого порядка


                                                                                   c
Тогда семейство открытых множеств O = {Uk }∞  k=1 , Uk = Ωk+1 ∩ (Ωk−1 ) ,
является покрытием области Ω. По теореме 1.1 существует C ∞ -разбиение
единицы Ψ для Ω, подчиненное O. Определим следующие множества
функций:
              Φk = {ψ ∈ Ψ | supp ψ ⊂ Uk }, k = 1, ∞,
                                          µ[ ¶
                 Ψ1 = Φ1 , Ψk+1 = Φk+1 \       Ψj .
                                                       j6k
                 S               T                                        P
Ясно, что Ψ =          Ψk и Ψk       Ψj = ∅ при k 6= j. Пусть ψk (x) =          ψ(x).
                   k                                                     ψ∈Ψk
                          P
                          ∞
Тогда ψk ∈ C0∞ (Uk ) и          ψk (x) = 1 на Ω.
                          k=1
   Для δ > 0 носитель функции Jδ ∗(ψk u) содержится в Uk +Oδ . Поэтому
при δ < 1/(k + 1)(k + 2) для любых x ∈ Uk , y ∈ Oδ будем иметь

            |x + y| > |x| − |y| > 1/(k + 1) − δ > 1/(k + 2) .
                                             T        c
Это означает, что Uk + Oδ ⊂ Vk = Ωk+2 (Ωk−2 ) . Следовательно,
supp Jδ ∗ (ψk u) ⊂ Vk ⊂⊂ Ω. Поскольку ψk u ∈ Wpm (Ω), по лемме 2.1
мы можем выбрать δk < 1/(k + 1)(k + 2) так, что
                                                                        ε
        kJδk ∗ (ψk u) − ψk ukm,p,Ω = kJδk ∗ (ψk u) − ψk ukm,p,Vk <         .
                                                                        2k
             P
             ∞
Пусть ϕ =          Jδk ∗ (ψk u). Заметим, что, если G ⊂⊂ Ω, то лишь ко-
             k=1
нечное число слагаемых в этой сумме отлично от нуля на G. Сле-
довательно, ϕ принадлежит C ∞ (Ω). Для x ∈ Ω мы можем записать
       P
       ∞
u(x) =   ψj (x)u(x). Поэтому
       j=1

                           X∞                               X∞
                               °                  °             ε
        ku − ϕkm,p,Ω     6     °Jδ ∗ (ψj u) − ψj u°       <        = ε.
                                  j                 m,p,Ω       2j
                           j=1                              j=1

Итак, для произвольной u ∈ Wpm (Ω) и любого ε > 0 существует функция
ϕ ∈ C ∞ (Ω) такая, что ku − ϕkm,p,Ω < ε. Теорема доказана.
   В заключение этого раздела покажем, что теорема 2.5 неверна при
p = ∞. Например, функция u(x) = |x| на интервале Ω = (−1, 1) при-
                           1                          1
надлежит пространству W∞     (Ω), но не принадлежит H∞  (Ω), так как для

Страницы