Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

30 Глава 2. Пространства Соболева целого порядка
рых правая часть конечна, этот функционал будет нормой. Определим
следующие пространства:
1) H
m
p
(Ω) — пространство, образованное пополнением линейного про-
странства
n
u ∈ C
m
(Ω) | kuk
m,p
< ∞
o
по норме k·k
m,p
;
2) пространство
W
m
p
(Ω) = {u ∈ L
p
(Ω) | D
α
u ∈ L
p
(Ω) ∀α, |α| 6 m};
3)
◦
W
m
p
(Ω) — пространство, являющееся замыканием C
∞
0
(Ω) по нор-
ме
k·k
m,p
.
Очевидно, что имеют место теоретико-множественные и топологи-
ческие включения
◦
W
m
p
(Ω) ⊂ W
m
p
(Ω) ⊂ L
p
(Ω). Ниже будет показано,
что H
m
p
(Ω) = W
m
p
(Ω) для любой области Ω. Введенные пространства
называют пространствами Соболева.
Теорема 2.4. Пространство W
m
p
(Ω) полно при 1 6 p 6 ∞, рефлек-
сивно при 1 < p < ∞, сепарабельно при 1 6 p < ∞ и гильбертово при
p = 2 относительно скалярного произведения
(u, v) =
X
06|α|6m
(D
α
u, D
α
v).
Доказательство. Если последовательность (u
n
) является последова-
тельностью Коши в W
m
p
(Ω), то существуют функции u ∈ L
p
(Ω) и v
α
,
такие, что u
n
→ u и D
α
u
n
→ v
α
в L
p
(Ω) для каждого мультииндек-
са α, |α| 6 m. По теореме 2.3 оператор D
α
замкнут в L
p
(Ω), а потому
v
α
= D
α
u. Это означает, что u ∈ W
m
p
(Ω) и u
n
→ u в W
m
p
(Ω). Итак, у
любой последовательности Коши в W
m
p
(Ω) в этом пространстве суще-
ствует предел, то есть пространство Соболева W
m
p
(Ω) полно. Пусть N
обозначает количество мультииндексов α, таких, что 0 6 |α| 6 m. То-
гда оператор P u = (D
α
u)
06|α|6m
осуществляет изоморфизм простран-
ства W
m
p
(Ω) на замкнутое подпространство декартова произведения
(L
p
(Ω))
N
. Пространство L
p
(Ω) сепарабельно при p ∈ [1, ∞), рефлексив-
но при p ∈ (1, ∞) и гильбертово при p = 2. Очевидно, таковым же будет
(L
p
(Ω))
N
. Эти свойства, как известно, наследуются любым замкнутым
30                              Глава 2. Пространства Соболева целого порядка


рых правая часть конечна, этот функционал будет нормой. Определим
следующие пространства:
   1) Hpm (Ω) —n пространство, образованное
                                         o пополнением линейного про-
     странства u ∈ C m (Ω) | kukm,p < ∞ по норме k·km,p ;
     2) пространство

            Wpm (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) | Dα u ∈ Lp (Ω) ∀α, |α| 6 m} ;
        ◦
     3) Wpm (Ω) — пространство, являющееся замыканием C0∞ (Ω) по нор-
ме
     k·km,p .
     Очевидно, что имеют место теоретико-множественные и топологи-
                      ◦
ческие включения Wpm (Ω) ⊂ Wpm (Ω) ⊂ Lp (Ω). Ниже будет показано,
что Hpm (Ω) = Wpm (Ω) для любой области Ω. Введенные пространства
называют пространствами Соболева.
   Теорема 2.4. Пространство Wpm (Ω) полно при 1 6 p 6 ∞, рефлек-
сивно при 1 < p < ∞, сепарабельно при 1 6 p < ∞ и гильбертово при
p = 2 относительно скалярного произведения
                              X
                    (u, v) =      (Dα u, Dα v).
                                06|α|6m


     Доказательство. Если последовательность (un ) является последова-
тельностью Коши в Wpm (Ω), то существуют функции u ∈ Lp (Ω) и vα ,
такие, что un → u и Dα un → vα в Lp (Ω) для каждого мультииндек-
са α, |α| 6 m. По теореме 2.3 оператор Dα замкнут в Lp (Ω), а потому
vα = Dα u. Это означает, что u ∈ Wpm (Ω) и un → u в Wpm (Ω). Итак, у
любой последовательности Коши в Wpm (Ω) в этом пространстве суще-
ствует предел, то есть пространство Соболева Wpm (Ω) полно. Пусть N
обозначает количество мультииндексов α, таких, что 0 6 |α| 6 m. То-
гда оператор P u = (Dα u)06|α|6m осуществляет изоморфизм простран-
ства Wpm (Ω) на замкнутое подпространство декартова произведения
(Lp (Ω))N . Пространство Lp (Ω) сепарабельно при p ∈ [1, ∞), рефлексив-
но при p ∈ (1, ∞) и гильбертово при p = 2. Очевидно, таковым же будет
(Lp (Ω))N . Эти свойства, как известно, наследуются любым замкнутым

Страницы