Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

28 Глава 2. Пространства Соболева целого порядка
Если у локально интегрируемой функции существует слабая произ-
водная, то, как следует из теоремы 2.1, она определяется единственным
образом, с точностью до класса эквивалентных функций, то есть отли-
чающихся друг от друга лишь на множестве меры нуль в Ω.
Пример 2.5. Рассмотрим на R функцию |x|, у которой не существу-
ет классической производной в точке 0, и покажем, что у этой функции
слабая производная существует и равна sign(x). Действительно, для лю-
бой функции ϕ ∈ D(R) имеем
∞
Z
−∞
|x|ϕ
0
(x)dx = −
0
Z
−∞
xϕ
0
(x)dx +
∞
Z
0
xϕ
0
(x)dx =
=
0
Z
−∞
ϕ(x)dx −
∞
Z
0
ϕ(x)dx = −
∞
Z
−∞
sign(x)ϕ(x)dx,
откуда по определению получаем
d
dx
|x| = sign(x) в слабом смысле.
Пример 2.6. Пусть u(x) = sign(x). Нетрудно проверить, что име-
ет место равенство
d
dx
T
u
= 2δ
0
в смысле распределений D
0
(R). В то-
же время в Ω = R \ {0} функция u слабо дифференцируема (более
того, u ∈ C
∞
(Ω)) и ее производная равна нулю. Таким образом, дан-
ный пример показывает, что производная зависит не только от функции,
но и от области, на которой она рассматривается как распределение. В
этом примере пространство пробных функций D(R) шире пространства
D(R \{0}), что приводит к разным результатам при вычислении произ-
водных.
В силу формулы интегрирования по частям, для функций из C
m
(Ω)
все производные до порядка m включительно совпадают с обобщенными
производными. В следующей теореме даются условия, когда из существо-
вания обобщенной производной следует существование классической.
Теорема 2.2. Если u, f ∈ C(Ω) и D
j
u = f в слабом смысле, то
D
j
u = f в обычном смысле.
28                                   Глава 2. Пространства Соболева целого порядка


   Если у локально интегрируемой функции существует слабая произ-
водная, то, как следует из теоремы 2.1, она определяется единственным
образом, с точностью до класса эквивалентных функций, то есть отли-
чающихся друг от друга лишь на множестве меры нуль в Ω.
    Пример 2.5. Рассмотрим на R функцию |x|, у которой не существу-
ет классической производной в точке 0, и покажем, что у этой функции
слабая производная существует и равна sign(x). Действительно, для лю-
бой функции ϕ ∈ D(R) имеем
            Z∞                       Z0                 Z∞
                 |x|ϕ0 (x)dx = −          xϕ0 (x)dx +        xϕ0 (x)dx =
           −∞                        −∞                 0

                Z0              Z∞                Z∞
           =         ϕ(x)dx −        ϕ(x)dx = −         sign(x)ϕ(x)dx,
               −∞               0                −∞
                                  d
откуда по определению получаем      |x| = sign(x) в слабом смысле.
                                 dx
    Пример 2.6. Пусть u(x) = sign(x). Нетрудно проверить, что име-
                     d
ет место равенство     Tu = 2δ0 в смысле распределений D0 (R). В то-
                    dx
же время в Ω = R \ {0} функция u слабо дифференцируема (более
того, u ∈ C ∞ (Ω)) и ее производная равна нулю. Таким образом, дан-
ный пример показывает, что производная зависит не только от функции,
но и от области, на которой она рассматривается как распределение. В
этом примере пространство пробных функций D(R) шире пространства
D(R \ {0}), что приводит к разным результатам при вычислении произ-
водных.
    В силу формулы интегрирования по частям, для функций из C m (Ω)
все производные до порядка m включительно совпадают с обобщенными
производными. В следующей теореме даются условия, когда из существо-
вания обобщенной производной следует существование классической.
    Теорема 2.2. Если u, f ∈ C(Ω) и Dj u = f в слабом смысле, то
Dj u = f в обычном смысле.

Страницы