Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Распределения 27
Тождество (1.3) можно положить в основу определения производной
D
α
T для произвольного распределения T ∈ D
0
(Ω), а не только для
порождаемого дифференцируемой функцией. Действительно, если T ∈
D
0
(Ω) и ϕ
n
→ 0 в D(Ω), то для фиксированного мультииндекса α по
определению D
α
ϕ
n
→ 0, а потому (−1)
|α|
T (D
α
ϕ
n
) → 0 в силу непрерыв-
ности функционала T на D(Ω). Таким образом, линейный функционал
ϕ → (−1)
|α|
T (D
α
ϕ) непрерывен на D(Ω), то есть является распределени-
ем, которое естественно обозначить через D
α
T . Следовательно, формула
(1.3) определяет производную распределения T ∈ D
0
(Ω).
Пример 2.3. Рассмотрим на R функцию Хевисайда:
H(x) =
(
1, x > 0;
0, x < 0.
Тогда для любой ϕ ∈ D(R)
DT
H
(ϕ) = −T
H
(ϕ
0
) = −
Z
R
H(x)ϕ
0
(x)dx =
= −
∞
Z
0
ϕ
0
(x)dx = ϕ(0) = δ
0
(ϕ).
То есть производная распределения T
H
равна дельта-функции, сосредо-
точенной в нуле.
Пример 2.4. Производная дельта-функции определяется следую-
щим образом:
D
α
δ
a
(ϕ) = (−1)
|α|
δ
a
(D
α
ϕ) = (−1)
|α|
D
α
ϕ(a) ∀ϕ ∈ D(Ω).
Определение 2.3. Пусть u ∈ L
1,loc
(Ω). Если для мультииндекса α
существует функция v ∈ L
1,loc
(Ω) такая, что D
α
T
u
= T
v
, то функция v
называется слабой или обобщенной производной функции u и обознача-
ется через D
α
u.
Таким образом, функция u и ее слабая производная D
α
u = v связаны
между собой интегральным тождеством
Z
Ω
vϕ(x)dx = (−1)
|α|
Z
Ω
u(x)D
α
ϕ(x)dx ∀ϕ ∈ D(Ω).
§ 1. Распределения                                                   27


Тождество (1.3) можно положить в основу определения производной
Dα T для произвольного распределения T ∈ D0 (Ω), а не только для
порождаемого дифференцируемой функцией. Действительно, если T ∈
D0 (Ω) и ϕn → 0 в D(Ω), то для фиксированного мультииндекса α по
определению Dα ϕn → 0, а потому (−1)|α| T (Dα ϕn ) → 0 в силу непрерыв-
ности функционала T на D(Ω). Таким образом, линейный функционал
ϕ → (−1)|α| T (Dα ϕ) непрерывен на D(Ω), то есть является распределени-
ем, которое естественно обозначить через Dα T . Следовательно, формула
(1.3) определяет производную распределения T ∈ D0 (Ω).
    Пример 2.3. Рассмотрим на R функцию Хевисайда:
                              (
                                1, x > 0;
                      H(x) =
                                0, x < 0.
Тогда для любой ϕ ∈ D(R)
                                            Z
               DTH (ϕ) = −TH (ϕ0 ) = −          H(x)ϕ0 (x)dx =
                                            R
                           Z∞
                     = −        ϕ0 (x)dx = ϕ(0) = δ0 (ϕ).
                           0
То есть производная распределения TH равна дельта-функции, сосредо-
точенной в нуле.
   Пример 2.4. Производная дельта-функции определяется следую-
щим образом:
       Dα δa (ϕ) = (−1)|α| δa (Dα ϕ) = (−1)|α| Dα ϕ(a) ∀ϕ ∈ D(Ω).

    Определение 2.3. Пусть u ∈ L1,loc (Ω). Если для мультииндекса α
существует функция v ∈ L1,loc (Ω) такая, что Dα Tu = Tv , то функция v
называется слабой или обобщенной производной функции u и обознача-
ется через Dα u.
   Таким образом, функция u и ее слабая производная Dα u = v связаны
между собой интегральным тождеством
        Z                    Z
                         |α|
          vϕ(x)dx = (−1)       u(x)Dα ϕ(x)dx    ∀ϕ ∈ D(Ω).
          Ω                       Ω

Страницы